Question

2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-2mx+m-2（m＞0）与x轴的交点为A，B．
（1）求抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当m=1时，求线段AB上整点的个数；
②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有7个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用配方法即可解决问题．
（2）①m=1代入抛物线解析式，求出A、B两点坐标即可解决问题．
②根据题意画出图形，结合图形列出关于m的不等式，解之确定m的范围．

解答 解：（1）∵y=mx²-2mx+m-2
=m（x²-2x+1）-2
=m（x-1）²-2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-2）；

（2）①当m=1时，抛物线解析式为y=x²-2x-1，
令y=0得：x²-2x-1=0，
解得：x₁=1-$\sqrt{2}$，x₂=1+$\sqrt{2}$，
即A（1-$\sqrt{2}$，0）、B（1+$\sqrt{2}$，0），
则线段AB上整点有0、1、2的这3个；
②如图，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有7个整点，

则$\left\{\begin{array}{l}{m+2m+m-2＞0}\\{9m-6m+m-2＞0}\\{m-2≤-1}\\{4m-4m+m-2≤-1}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{1}{2}$＜m≤1．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．