题目内容
6．已知∠ABC=90°，AB=CB，EF是过点A的直线，CD⊥EF于点D，连接BD，过点B作GB⊥DB于点B，交EF于点G．（1）在图1中，求证：△DBG是等腰直角三角形；
（2）在图1中，当tan∠CBD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，BC=2时，求BD的长度；
（3）当直线EF绕点A逆时针方向旋转到图2的位置时，△DBG是什么三角形，判断并说明理由：当直线EF继续绕点A按逆时针方向旋转到图3的位置时，直接写出BD与BG之间的数量关系．
分析 （1）根据∠ABC=90°，GB⊥DB，得∠ABD+∠DBC=90°，∠ABD+∠GBA=90°，∠DBC=∠GBA，由四边形的内角和，得∠DAB+∠DBC=180°，∠GAB=∠DCB，证明△DCB≌△GAB，即可证明△DBG是等腰直角三角形；
（2）如图，过点C作CN⊥BD于N．∵由（1）得∠GDB=45°，∠BDC=45°，即可证明△DNC是等腰直角三角形，根据特殊角的三角函数值得出∠CBD=30°，即可得出CN、DN、BN=$\sqrt{3}$，再求出BD即可；
（3）根据△DBG是等腰直角三角形，∠ABC=90°，∠GBD=90°，得出∠ABG=∠DBC，可证明∠C=∠HAB，再证明AGB≌△CDB，得△DCG是等腰三角形，从而得出当直线EF继续绕点A按逆时针方向旋转到图3的位置时，BD=BG．
解答 
解：（1）∵∠ABC=90°，GB⊥DB，
∴∠ABD+∠DBC=90°，∠ABD+∠GBA=90°，
∴∠DBC=∠GBA，
∵四边形的内角和等于360°，
∴CD⊥EF∠ABC=90°，
∴∠DAB+∠DBC=180°，
∵∠DAB+∠GAB=180°，
∴∠GAB=∠DCB，
在△DCB和△GAB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBC=∠GBA}\\{AB=BC}\\{∠DCB=∠GAB}\end{array}\right.$，
∴△DCB≌△GAB，∴BD=BG，
∵GB⊥DB，
∴△DBG是等腰直角三角形；
（2）如图，过点C作CN⊥BD于N．
∵△DBG是等腰直角三角形，
∴∠GDB=45°，
∵CD⊥EF，
∴∠BDC=45°，
∴△DNC是等腰直角三角形，
∵tan∠CBD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CBD=30°，
∵BC=2，
∴CN=1，
∴DN=1，BN=$\sqrt{3}$，
∴BD=BN+DN=1+$\sqrt{3}$；
（3）∵△DBG是等腰直角三角形，∠ABC=90°，∠GBD=90°，
∴∠ABG+90°=∠CBG，∠DBC+90°=∠CBG，
∴∠ABG=∠DBC，
∵CD⊥EF，
∴∠C+∠CHD=90°，
∵在△AHB中，∠ABH=90°，
∴∠HAB+∠AHB=90°，
∠CHD=∠AHB，∴∠C=∠HAB，
又∵AB=CB，
∴△AGB≌△CDB，
∴BD=BG，
∴DCG是等腰三角形，
∴当直线EF继续绕点A按逆时针方向旋转到图3的位置时，BD=BG．
点评 本题考查了几何变换综合题，全等三角形的性质和判定，利用全等三角形来得出简单的线段相等是解此类题的常用方法，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，是本题的突破点，题目比较难，属于中考压轴题．
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