如图.在平面直角坐标系中.△AOB的边OA在x轴上.点B在第一象限.∠BAO=45°.AB=8$\sqrt{2}$.点A的坐标为．(1)求点B的坐标,(2)若D为线段OB的中点.E为y轴上一点.直线DE交AB于C.交x轴于点F.其中OE=$\frac{14}{5}$.连接AD.求直线DE的解析式及四边形OACD的面积,(3)若点P是直角坐标平面上的一个动点.是否存在点P.使以A.D.P为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OA在x轴上，点B在第一象限，∠BAO=45°，AB=8$\sqrt{2}$，点A的坐标为（14，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）若D为线段OB的中点，E为y轴上一点，直线DE交AB于C，交x轴于点F，其中OE=$\frac{14}{5}$，连接AD，求直线DE的解析式及四边形OACD的面积；
（3）若点P是直角坐标平面上的一个动点，是否存在点P，使以A、D、P为顶点的三角形是以AD为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）如图1中，作BI⊥OA于I．设OI=x，在Rt△ABI中，根据AB²=AI²+BI²，列出方程即可解决问题．
（2）先求出直线DE、AB的解析式，利用方程组求出点C坐标，再根据S_{四边形OACD}=S_△ACF-S_△ODF计算即可．
（3）如图2中，分四种情形①当△DAP₁是等腰直角三角形时，作P₁M⊥x轴于M，DN⊥OA于N，由△ADN≌△P₁AM得到，AM=DN=4，P₁M=AN=11，即可推出P₁坐标．②当△ADP₂是等腰直角三角形时．③当△ADP₃是等腰直角三角形时．④当△ADP₄是等腰直角三角形时，分别求解即可．

解答解：（1）如图1中，作BI⊥OA于I．设OI=x，
∵∠BAO=45°，∠BIA=90°，A（14，0）
∴∠IAB=∠IBA=45°，
∴AI=BI=14-x，
在Rt△ABI中，∵AB²=AI²+BI²，
∴（8$\sqrt{2}$）²=（14-x）²+（14-x）²，
解得x=6或22（舍弃），
∴B（6，8）．

（2）如图1中，∵B（6，8），OD=DB，
∴D（ 3，4），∵E（0，$\frac{14}{5}$），
设直线DE的解析式为y=kx+b则有 $\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{14}{5}}\\{3k+b=4}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{5}}\\{b=\frac{14}{5}}\end{array}\right.$，
∴直线DE的解析式为y=$\frac{2}{5}$x+$\frac{14}{5}$，同法可得直线AB的解析式为y=-x+14，
由 $\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{5}x+\frac{14}{5}}\\{y=-x+14}\end{array}\right.$解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴交点C坐标（8.6），F（-7，0），
∴S_{四边形OACD}=S_△ACF-S_△ODF=$\frac{1}{2}$×21×6-$\frac{1}{2}$×7×4=49．

（3）如图2中，
当△DAP₁是等腰直角三角形时，作P₁M⊥x轴于M，DN⊥OA于N．
∵D（ 3，4），A（17，0），
∴DN=4，AN=11，
由△ADN≌△P₁AM得到，AM=DN=4，P₁M=AN=11，
∴P₁（18，11），
当△ADP₂是等腰直角三角形时，
∵P₁与P₂关于点A对称，A（14，0），
∴P₂（10，-11），
当△ADP₃是等腰直角三角形时，
P₃可以可知P₁向上平移4个单位，向左平移 11个单位得到，
∴P₃（7，15），
当△ADP₄是等腰直角三角形时，
P₄可以可知P₂向上平移4个单位，向左平移 11个单位得到，
∴P₄（-1，-7）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（18，11）或（10，-11）或（7，15）或（-1，-7）．