Question

如图1，已知抛物线与坐标轴分别交于点A（-4，0）、B（4，0）、C（0，-2），过点C作平行于x轴的直线l．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点N（8，6），直线l上是否存在点P，使得△OPN是以ON为直角边的直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存，请说明理由；
（3）如图2，设N（m，n）（m≠0）为抛物线上一动点，过ON的中点E作EF⊥l于点F，连接FO，FN．
①求证：∠OFN=90°；
②若△OFN是以ON为斜边的等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点N的坐标（不必写出求解过程）．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）应用待定系数法即可求得．
（2）设出P点的坐标（m，-2），表示出OP²、ON²、PN²的值，分两种情况讨论，当∠PON=90°时，OP²+ON²=PN²，当∠PNO=90°时，PN²+ON²=OP²，即可求得．
（3）①先根据勾股定理求得OF²、NF²、NO²，然后根据勾股定理的逆定理即可判定；②根据OF²=NF²求出n的值即可求得m的值，从而求得N点的坐标．

解答：（1）解：设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，依题意得

16a-4b+c=0 16a+4b+c=0 c=-2

   解得

a= 1 8 b=0 c=-2

∴抛物线的解析式为y=

1

8

x²-2，
（2）存在；
设P点的坐标（m，-2），则OP²=2²+m²=4+m²，ON²=6²+8²=100，PN²=（6+2）²+（8-m）²=m²-16m+128，
∵当∠PON=90°时，OP²+ON²=PN²，
∴4+m²+100=m²-16m+128，解得m=

3

2

，
∴P（

3

2

，-2），
∵当∠PNO=90°时，PN²+ON²=OP²，
∴m²-16m+128+100=4+m²，解得m=14，
∴P（14，-2）

（3）①证明；过N点作NG⊥X轴于G，
∵N（m，n），依题意得F（

m

2

，-2），
∴n=

1

8

m²-2，即m²=8n+16，
∴OF²=CF²+OC²=

m2

4

+4=2n+8，
∴NF²=GF²=+NG²=

m2

4

+（n+2）²=n²+6n+8，NO²=m²+n²=8n+16+n²，
∴OF²+NF²=ON²，
∴∠OFN=90°；
②N（-4，0）或N（4，0）．
∵△OFN是以ON为斜边的等腰直角三角形，
∴OF=NF，
∵NF²=n²+6n+8，NO²=8n+16+n²，
∴OF²=2n+8，
∴n²+6n+8=2n+8，解得：n=0或n=-4（舍去），
∴0=

1

8

m²-2，解得：m=4，或m=-4，
∴N（-4，0）或N（4，0）．

点评：本题考查了待定系数法求解析式，勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质等．