Question

17．如图，正方形ABCD中，已知E为CD中点，点F在边AD上，AE，BF相交于点P，AE⊥BF，求证：PC=BC．

Answer 1

分析 作CM⊥BF于M，由AAS证明△BCM≌△ABP，得出BM=AP，再由AAS证明△ABF≌△DAE，得出AF=DE，证出AF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$AB，证明△ABP∽△FBA，得出$\frac{AP}{BP}=\frac{AF}{AB}$=$\frac{1}{2}$，AP=$\frac{1}{2}$BP，BM=$\frac{1}{2}$BP，即CM垂直平分BP，即可得出结论．

解答 解：作CM⊥BF于M，如图所示：
则∠CMB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，AB=BC=CD=DA，
∴∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
同理：∠4=∠5，
∵AE⊥BF，
∴∠BPA=90°=∠CMB，
在△BCM和△ABP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}&{\;}\\{∠CMB=∠BPA}&{\;}\\{BC=AB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△ABP（AAS），
∴BM=AP，
∵AB∥CD，
∴∠4=∠6，
∴∠5=∠6，
在△ABF和△DAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠5=∠6}&{\;}\\{∠BAF=∠ADE}&{\;}\\{AB=DA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AF=DE，
∵E为CD中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AD，
∴AF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$AB，
∵∠4=∠5，∠BPA=∠BAF，
∴△ABP∽△FBA，
∴$\frac{AP}{BP}=\frac{AF}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴AP=$\frac{1}{2}$BP，
∴BM=$\frac{1}{2}$BP，
即CM垂直平分BP，
∴PC=BC．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．