Question

11．为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为4000元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．
（1）求月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元（利润=销售额-生产成本-员工工资-其它费用），该公司可安排员工多少人？
（3）若该公司有30名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？

Answer 1

分析 （1）从图中得出40≤x≤60时，函数经过两点，使用待定系数法即可求出函数关系式；
（2）利用（1）中的函数关系，当销售单价定为50元时，可计算出月销售量，设可安排员工m人，利润=销售额一生产成本-员工工资-其它费用，列出方程即可解；
（3）先得出利润的最大值，即可求解．

解答 解：（1）当40≤x≤60时，令y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{40k+b=4}\\{60k+b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{10}}\\{b=8}\end{array}\right.$，
故y=-$\frac{1}{10}$x+8；
（2）设公司可安排员工a人，定价50元时，
由5=（-$\frac{1}{10}$×50+8）（50-40）-15-0.4a，
得30-15-0.4a=5，
解得a=25，
所以公司可安排员工25人；
（3）当40≤x≤60时，
利润w₁=（-$\frac{1}{10}$x+8）（x-40）-15-12=-$\frac{1}{10}$（x-60）²+13，
则当x=60时，w_max=13万元；
设该公司n个月后还清贷款，则13n≥80，
∴n≥$\frac{80}{13}$，即n=7为所求．

点评 本题主要考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，一次函数与一次不等式的应用，是一道综合性较强的代数应用题，能力要求比较高．