Question

1．如图，P、Q是Rt△ABC斜边AB上的点，AQ=AC，BP=CB，△ABC内切圆半径为5，则△CPQ外接圆半径为5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如图设⊙O是△ABC内切圆，E、F是切点，连接OE、OF、0A、OB、OC，只要证明点O是△CPQ的外接圆的圆心即可解决问题．

解答 解：如图设⊙O是△ABC内切圆，E、F是切点，连接OE、OF、0A、OB、OC．
∵点O是△ABC内心，
∴OA平分∠CAB，OB平分∠CBA，
∵AC=AQ，BC=BP，
∴AO垂直平分CQ，BO垂直平分PC，
∴点O是△PCQ的外心，
∵∠ECF=∠OEC=∠OFC=90°，
∴四边形OECF是矩形，
∵OE=OF=5，
∴四边形OECF是正方形，
∴OC=$\sqrt{2}$OE=5$\sqrt{2}$，
∴△PCQ的外接圆的半径为5$\sqrt{2}$．
故答案为5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查是矩形外接圆、内切圆的性质，内心以及外心的定义等知识，解题的关键是熟练掌握内心、外心的性质，属于填空题中的压轴题．