Question

16．如图，抛物线y=x²+bx+c交y轴于点A（0，-8），交x轴正半轴于点B（4，0）．
（1）抛物线的函数关系式为y=x²-2x-8；
（2）有一宽度为1的直尺平行于y轴，在点A、B之间移动，直尺两长边所在直线被线段AB和抛物线截得两线段MN（M在N上方）、PQ（P在Q上方），设M点的横坐标为m，（0＜m＜3）
①若连接MQ，求以M、P、Q为顶点的三角形和△AOB相似时，m的值；
②若连接NQ，请直接写出m为何值时，四边形MNQP的面积最大．

Answer 1

分析 （1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，于是可得到抛物线的解析式；
（2）如图1所示：连接MQ．先求得直线AB的解析式，当△AOB∽△PQM时．可知MQ∥OB，设点M的坐标为（m，2m-8），则点Q的坐标为（m+1，m²-9）然后由M和Q的纵坐标相等可得到m的值；②当△PMQ∽△AOB时，过点M作MN⊥PQ，然后证明△MNQ∽△AOB，由相似三角形的性质可得到NQ=$\frac{1}{2}$，设点M的坐标为（m，2m-8），则点Q的坐标为（m，m²-9），然后根据NQ的长列方程求解即可；
（3）设点M的坐标为（m，2m-8），则点N（m，m²-2m-8）、P（m+1，2m-6），Q（m，m²-9），然后由四边形MNQP的面积=$\frac{1}{2}$×1×（MN+PQ）得到四边形MNQP的面积与m的函数关系式，从而可求得m的值．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c交y轴于点A（0，-8），
∴c=-8．
∵将B（4，0）代入y=x²+bx-8得：16+4b-8=0，解得：b=-2．
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-8．
故答案为：y=x²-2x-8．
（2）如图1所示：连接MQ．

设AB的解析式为y=kx+b．
将点A和点B的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
解得：k=2，b=-8．
∴直线AB的解析式为y=2x-8．
∵PQ∥OA，
∴∠MPQ=∠OAB．
i．当△AOB∽△PQM时．则∠AOB=∠PQM=90°．
∴MQ∥OB．
设点M的坐标为（m，2m-8），则点Q的坐标为（m+1，m²-9）．
∵MQ∥OB，
∴2m-8=m²-9，解得m=$\sqrt{2}$+1或m=-$\sqrt{2}$+1（舍去）．
∴当m=$\sqrt{2}$+1时，△AOB∽△PQM．
ii．当△PMQ∽△AOB时，如图1所示：过点M作MN⊥PQ．
∵△PMQ∽△AOB，
∴∠PMQ=∠AOB=90°，∠PQM=∠ABO．
∴∠MQN=∠ABO．
∵MN⊥PQ，
∴∠MNQ=90°．
∴∠MNQ=∠AOB．
∴△MNQ∽△AOB．
∴$\frac{QN}{MN}=\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$．
∵MN=1，
∴NQ=$\frac{1}{2}$．
设点M的坐标为（m，2m-8），则点Q的坐标为（m，m²-9）．
∴NQ=-m²+2m+1．
∴-m²+2m+1=$\frac{1}{2}$．
解得：m=$\frac{\sqrt{6}}{2}$+1或m=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$+1（舍去）．
综上所述，m的值为$\sqrt{2}$+1或$\frac{\sqrt{6}}{2}$+1．
②设点M的坐标为（m，2m-8），则点N（m，m²-2m-8）、P（m+1，2m-6），Q（m，m²-9）．
四边形MNQP的面积=$\frac{1}{2}$×1×（MN+PQ）=$\frac{1}{2}$（-2m²+6m+3）=-m²+3m+$\frac{3}{2}$．
当m=$\frac{-3}{-1×2}$=$\frac{3}{2}$时，四边形MNQP的面积有最大值．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、二次函数的图象和性质得到关于m的方程以及四边形MNQP的面积与m的函数关系式是解题的关键．