题目内容
20．
如图，一次函数y=kx+b（k＜0）与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1）（1）求反比例函数的解析式y=$\frac{4}{x}$；
（2）连接OB（O是坐标原点），若△BOC的面积为3，则该一次函数的解析式y=-$\frac{1}{2}$x+3或y=-$\frac{1}{8}$x+$\frac{3}{2}$
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点D，使得△ABD是直角三角形？
分析 （1）把A的坐标代入反比例函数即可求出m的值．
（2）设点B的坐标为（n，$\frac{4}{n}$），将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，利用根与系数的关系可找出n、k的关系，由三角形的面积公式可表示出来b、n的关系，再由点A在一次函数图象上，可找出k、b的关系，联立3个等式为方程组，解方程组即可得出结论．
（3）由于△ABD不知道哪条边是直角边，所以分三种情况进行讨论，分别是∠BDA=90°，∠DBA=90°，∠DAB=90°，根据勾股定理列出方程求解可得．
解答 解：（1）把点A（4，1）代入反比例函数中得：m=4，
∴反比例函数为：y=$\frac{4}{x}$．
（2）∵点B在反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象上，
∴设点B的坐标为（n，$\frac{4}{n}$）．
将y=kx+b代入y=$\frac{4}{x}$中，得：
kx+b=$\frac{4}{x}$，整理得：kx2+bx-4=0，
∴4n=-$\frac{4}{k}$，即nk=-1①．
令y=kx+b中x=0，则y=b，
即点C的坐标为（0，b），
∴S△BOC=$\frac{1}{2}$bn=3，
∴bn=6②．
∵点A（4，1）在一次函数y=kx+b的图象上，
∴1=4k+b③．
联立①②③成方程组，即$\left\{\begin{array}{l}{nk=-1}\\{bn=6}\\{1=4k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴该一次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+3}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴点B的坐标为（2，2），
设D（a，0），
则AB2=（2-4）2+（2-1）2=5，AD2=（a-4）2+（0-1）2=（a-4）2+1，BD2=（a-2）2+（0-2）2=（a-2）2+4，
当∠ABD=90°时，AB2+BD2=AD2，即5+（a-2）2+4=（a-4）2+1，
解得：a=1，即点D（1，0）；
当∠ADB=90°时，AD2+BD2=AB2，即（a-4）2+1+（a-2）2+4=5，
方程无解，即点D不存在；
当∠BAD=90°时，AB2+AD2=BD2，即5+（a-4）2+1=（a-2）2+4，
解得：a=3.5，即点D（3.5，0），
综上，点D的坐标为（1，0）或（3.5，0）．
点评 本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、三角形的面积公式以及勾股定理等知识点，解题的关键是根据各关系量找出关于k、b、n的三元一次方程组．本题属于中档题，难度不大，但考到的知识点较多，解决该题型题目时，综合三角形的面积公式以及一次函数上点的坐标特征得出方程组是关键．
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黄冈小状元同步计算天天练系列答案| A． | $-\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | -3 | D． | 3 |
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