题目内容
2．如图③，点E，D分别是正三角形ABC，正四边形ABCM，正五边形ABCMN中以点C为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且△ABE与△BCD能相互重合，DB的延长线交AE于点F．（1）在图①中，求∠AFB的度数；
（2）在图②中，∠AFB的度数为90°，图③中，∠AFB的度数为108°；
（3）继续探索，可将本题推广到一般的正n边形情况，用含n的式子表示∠AFB的度数．
分析 （1）先根据等边三角形的性质得出∠AC=60°，再由补角的定义可得出∠ABE与∠BCD的度数，根据△ABE与△BCD能相互重合可得出∠E=∠D，∠DBC=∠BAE，由三角形外角的性质可得出结论；
（2）根据（1）中的方法可得出△BEF∽△BDC，进而可得出结论；
（3）根据（1）（2）的结论找出规律即可．
解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABE=∠BCD=120°．
∵△ABE与△BCD能相互重合，
∴∠E=∠D，∠DBC=∠BAE．
∵∠FBE=∠CBD，
∴∠AFB=∠E+∠FBE=∠D+∠CBD=∠ACB=60°；
（2）图②中，∵△ABE与△BCD能相互重合，
∴∠E=∠D．
∵∠FBE=∠CBD，∠D+∠CBD=90°，
∴∠AFB=∠E+∠FBE=∠D+∠CBD=90°；
同理可得，图③中∠AFB=108°．
故答案为：90°，108°；
（3）由（1）（2）可知，在正n边形中，∠AFB=$\frac{（n-2）•180°}{n}$．
点评 本题考查的是正多边形和圆，在解答此题时要注意正三角形、正四边形及正五边形的性质的应用，根据题意找出规律是解答此题的关键．
练习册系列答案
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14．下列各数中互为相反数的是（ ）
| A． | $（{-\frac{2}{3}}）$和$-\frac{2}{3}$ | B． | $（{-\frac{2}{3}}）$和$-\frac{3}{2}$ | C． | $（{-\frac{2}{3}}）$和$\frac{2}{3}$ | D． | $（{-\frac{2}{3}}）$和$\frac{3}{2}$ |