Question

3．（1）如图1，已知△ABC为等边三角形，点M是BC上一点，点N是AC上一点，AM、BN相交于点Q，∠BAM=∠NBC，求证：∠BQM=60°；
（2）将（1）中的“等边△ABC”分别改为图2中的正方形ABCD、图3中的正五边形ABCDE、图4中的正六边形ABCDEF、图5中的正n边形ABCD…，“点N是AC上一点”改为点N是CD上一点，其余条件不变，则∠BQM的度数分别是90°、108°、120°、$\frac{18{0}^{°}（n-2）}{n}$．

Answer 1

分析 （1）从图中不难得出△ABM≌△BCN，利用对应角相等，外角和定理可求∠BQM=60°；
（2）本题是变式拓展题，需要从证明△ABM≌△BCN中寻找解题方法．

解答 解：（1）∠BQM=60°．
在△ABM和△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠CBN}\\{AB=BC}\\{∠ABC=∠C=6{0}^{°}}\end{array}\right.$．
∴△ABM≌△BCN．
∴∠BAM=∠CBN．
∴∠BQM=∠BAM+∠ABN=∠CBN+∠ABN=∠ABC=60°．
（2）理由同（1）：正方形∠BQM=90°，正五边形∠BQM=108°，正六边形∠BQM=120°，正n边形∠BQM=$\frac{18{0}^{°}（n-2）}{n}$．
故答案为：90°，108°，120°，$\frac{18{0}^{°}（n-2）}{n}$．

点评 本题综合考查全等三角形、等边三角形和正多边形的有关知识．注意对三角形全等性质的运用及学会对问题的拓展．