Question

12．如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点且A（1，0），C（0，2）
（1）试判断abc的正负；
（2）若∠OCA=∠CBO，求二次函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据函数的图象即可确定a、b、c的符号，进而确定abc的符号；
（2）证明△AOC∽△COB，根据相似三角形的对应边的比相等求得OB的长，则B的坐标即可求得，然后根据待定系数法求得函数的解析式．

解答 解：（1）根据图象可得a＞0，b＜0，c＞0，
则abc＜0；
（2）∵A（1，0），C（0，2），
∴OA=1，OC=2，
∵∠OCA=∠CBO，∠AOC=∠COB，
∴△AOC∽△COB，
∴$\frac{OC}{OB}=\frac{OA}{OC}$，即$\frac{2}{OB}=\frac{1}{2}$，
∴OB=4，则B的坐标是（4，0）．
$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{7}}\\{b=-\frac{17}{7}}\\{c=2}\end{array}\right.$．
则二次函数的解析式是y=$\frac{3}{7}$x²-$\frac{17}{7}$x+2．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数图象的性质，根据开口方向可以确定a的符号，根据对称轴a的符号确定b的符号，根据与y轴的交点确定c的符号．