Question

15．如图，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线相交于点D．
（1）若∠ABC=60°，∠ACB=40°，求∠A和∠D度数．
（2）由第（1）小题的计算，发现∠A和∠D有什么关系．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和定理，已知∠ABC=60°，∠ACB=40°，易求∠A和∠D度数．
（2）根据三角形内角和定理以及角平分线性质，先求出∠D的等式，再与∠A比较即可解答．

解答 解：（1）在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=80°，
∵BD为∠ABC的平分线，CD为∠ACE的平分线，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，∠ACD=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）=$\frac{1}{2}$×140°=70°，
∴∠D=180°-∠DBC-∠ACB-∠ACD=180°-30°-40°-70°=40°，
∴∠A=80°，∠D=40°．

（2）通过（1）的计算，得到∠A=2∠D，
理由如下：∵∠ACE=∠A+∠ABC，
∴∠ACD+∠ECD=∠A+∠ABD+∠DBE，∠DCE=∠D+∠DBC，
又∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠ABD=∠DBE，∠ACD=∠ECD，
∴∠A=2（∠DCE-∠DBC），∠D=∠DCE-∠DBC，
∴∠A=2∠D．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线性质的综合运用，解题时注意：三角形内角和等于180°．