Question

4．已知三角形的三边为3、4、5，则该三角形的外接圆半径为2.5，内切圆面积为π．

Answer 1

分析 先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，根据其外接圆的半径等于斜边的一半即可求得三角形的外接圆半径；求内切圆的半径可设△ABC内切圆的半径为R，切点分别为D、E、F，再根据题意画出图形，先根据正方形的判定定理判断出四边形ODCE是正方形，再根据切线长定理即可得到关于R的一元一次方程，求出R的值，即可求得内切圆面积．

解答 解：在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，
∵3²+4²=5²，即AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，
根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，则其外接圆的半径是2.5．
设△ABC内切圆的半径为R，切点分别为D、E、F，如图所示，
∵CD=CE，BE=BF，AF=AD，
∵OD⊥AC，OE⊥BC，
∴四边形ODCE是正方形，即CD=CE=R，
∴AC-CD=AB-BF，即3-R=5-BF①
BC-CE=AB-AF，即4-R=BF②，
①②联立得，R=1，
∴内切圆面积为π；
故答案为：2.5，π．

点评 本题考查的是三角形的内切圆与内心，外接圆和外心，涉及到勾股定理的逆定理、正方形的判定与性质、切线长定理，涉及面较广，难度适中．