Question

20．如图，四边形ABCD，AD与BC不平行，AB=CD．AC，BD为四边形ABCD的对角线．E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点．
下列结论：①EG⊥FH；
②四边形EFGH是矩形；
③HF平分∠EHG；
④EG=$\frac{1}{2}$（BC-AD）；
⑤四边形EFGH是菱形．
其中正确的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 先根据三角形中位线定理，得出EF=FG=GH=HE，进而得到四边形EFGH是菱形，据此可判断结论是否正确，最后取AB的中点P，连接PE，PG，根据三角形三边关系以及三角形中位线定理，即可得出EG＞$\frac{1}{2}$BC-$\frac{1}{2}$AD，即EG＞$\frac{1}{2}$（BC-AD）．

解答 解：∵E，F分别是BD，BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$CD，
同理可得，GH=$\frac{1}{2}$CD，FG=$\frac{1}{2}$AB，EH=$\frac{1}{2}$AB，
又∵AB=CD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形，故⑤正确，②错误，
∴EG⊥FH，HF平分∠EHG，故①、③正确，
如图所示，取AB的中点P，连接PE，PG，
∵E是BD的中点，G是AC的中点，
∴PE是△ABD的中位线，PG是△ABC的中位线，
∴PE=$\frac{1}{2}$AD，PG=$\frac{1}{2}$BC，PE∥AD，PG∥BC，
∵AD与BC不平行，
∴PE与PG不平行，
∴△PEG中，EG＞PG-PE，
∴EG＞$\frac{1}{2}$BC-$\frac{1}{2}$AD，即EG＞$\frac{1}{2}$（BC-AD），故④错误．
综上所述，正确的有①③⑤．
故选：C．

点评 本题主要考查了中点四边形，三角形三边关系以及三角形中位线定理的运用，解题时注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．