Question

4．酒驾猛于虎，但很多人不以为是，为了加强人们对酒驾危害的认识，交警部门加大了对酒驾的检查力度．某市交警在2015年2月28日这天对本市各大主要交通路口进行车辆检查，如图，AC是该市解放路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，与解放路AC的交叉路口分别是A，B，C．已知出警点D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，BD=2km，∠DBC=30°．
（1）求A、B的距离；
（2）第一组交警负责路口A，求该组从出警点D到路口A的路程（行驶路线为D--C--B--A）．（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质可以证明：∠DAB=∠ADB，根据等角对等边即可证明AB=BD从而求解；
（2）过B作BO⊥DC，交直线DC于点O，在Rt△DBO中，利用三角函数即可求得DO的长，再在Rt△CBO中通过解直角三角形即可求得CD的长，即可求解．

解答 解：（1）如图，由题意得，∠EAD=45°，∠FBD=30°，∠DBC=30°，
∴∠FBC=∠FBD+∠DBC=30°+30°=60°．
∵AE∥BF∥CD，
∴∠FBC=∠EAC=60°，
∴∠DAB=15°，
又∵∠DBC=∠DAB+∠ADB，∠DBC=30°，
∴∠ADB=15°，
∴∠DAB=∠ADB，
∴AB=BD=2km．
即A，B之间的距离为2km；

（2）过B作BO⊥DC，交直线DC于点O，
∵BF∥CD，
∴∠FBD=∠BDC=30°，
在Rt△DBO中，∵∠BOD=90°，BD=2，
∴DO=2×cos30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，BO=2×sin30°=1．
在Rt△CBO中，∵∠BOC=90°，∠CBO=30°，
∴CO=BOtan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴CD=DO-CO=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（km）．
∵∠BDC=∠DBC=30°，
∴CD=BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴该组从出警点D到路口A的路程即D-C-B-A的行驶距离为（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+2）km．

点评 本题主要考查了解直角三角形-方向角问题，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．