Question

3．如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，F为CD上一点，已知∠AEF=90°，$\frac{AE}{EF}$=$\frac{3}{4}$，△ECF的外接圆与AD相切，则tan∠DAF=$\frac{16}{63}$．

Answer 1

分析 设⊙O与直线AD相切于点M，连接MO，延长MO交BC于点N，设AE=AM=3k，AB=3a，由△ABE∽△ECF求出EC，在RT△ABE中，利用勾股定理求出a、k之间的关系，利用DM²=DF•DC求出DF，根据tan∠DAF=$\frac{DF}{AD}$即可解决问题．

解答 解：设⊙O与直线AD相切于点M，连接MO，延长MO交BC于点N，
设AE=AM=3k，AB=3a，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，∠FEC+∠EFC=90°，
∴∠AEB=∠EFC，
∵∠C=∠B=90°，
∴△ABE∽△ECF，
∴$\frac{AB}{EC}=\frac{AE}{EF}=\frac{3}{4}$，
∴EC=4a，
∵OM⊥AD．AD∥BC，
∴ON⊥BC，
∴NE=NC=DM=2a，
∴BE=3k+2a-4a=3k-2a，
在RT△ABE中，∵AE²=AB²+BE²，
∴9k²=9a²+（3k-2a）²，
∴k=$\frac{13}{12}$a，
∴AM=$\frac{13}{4}$a，
∵DM²=DF•DC，
∴DF=$\frac{4}{3}$a，
∴tan∠ADF=$\frac{DF}{AD}$=$\frac{\frac{4}{3}a}{\frac{21}{4}a}$=$\frac{16}{63}$．
故答案为$\frac{16}{63}$．

点评 本题考查矩形的性质、切线长定理、切割线定理、勾股定理等知识，解题的关键是设两个参数，利用勾股定理推出两个参数之间的关系，题目比较难，属于中考填空题中的压轴题．