Question

20．如图1，抛物线y=-$\frac{6}{5}$x²+$\frac{4\sqrt{5}}{5}$x+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，过点A作AD∥BC交抛物线的对称轴于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）如图2，点P是抛物线在第一象限内的一点，作PQ⊥BC于Q，当PQ的长度最大时，在线段BC上找一点M（不与点B、点C重合），使PM+$\frac{2}{3}$BM的值最小，求点M的坐标及PM+$\frac{2}{3}$BM的最小值；
（3）抛物线的顶点为点E，平移抛物线，使抛物线的顶点E在直线AE上移动，点A，E平移后的对应点分别为点A′、E′．在平面内有一动点F，当以点A′、E′、B、F为顶点的四边形为菱形时，求出点A′的坐标．

Answer 1

分析 （1）当y=0时，-$\frac{6}{5}$x²+$\frac{4\sqrt{5}}{5}$x+2=0，解方程可得A（-$\frac{\sqrt{5}}{3}$，0），B（$\sqrt{5}$，0），当x=0时，y=2，即C（0，2），根据待定系数法可求直线BC的解析式为y=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x+2，根据平行两直线间的关系可得直线AD的解析式为y=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x-$\frac{2}{3}$，根据抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，可得当x=$\frac{\sqrt{5}}{3}$时，y=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x-$\frac{2}{3}$=-$\frac{4}{3}$，即D点坐标为（$\frac{\sqrt{5}}{3}$，-$\frac{4}{3}$）；
（2）如图1，作PF∥y轴交BC于F，则△PQF∽△BOC，根据相似三角形的性质可得PQ=$\frac{\sqrt{5}}{3}$PF，设P（t，-$\frac{6}{5}$t²+$\frac{4\sqrt{5}}{5}$t+2），F（t，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$t+2）可得PF=-$\frac{6}{5}$t²+$\frac{6\sqrt{5}}{5}$t，当t=$\frac{\sqrt{5}}{2}$时，PF取最大值，PQ取最大值，此时P（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5}{2}$），作MN⊥x轴于N，则△BMN∽△BOC，根据相似三角形的性质可得MN=$\frac{2}{3}$BM，则当P，M，N共线时，PM+$\frac{2}{3}$BM=PN=$\frac{5}{2}$，M（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，1）
（3）如图2所示，分三种情况：1）当A′E′=A′B，A′E′∥BF₁，A′E′=BF₁时四边形A′E′F₁B是菱形；2）当A′E′=E′B，A′E′∥BF₂，A′E′=BF₂时四边形A′E′F₂B是菱形；3）当A′B=E′B，A′F₃∥BE′，A′F₃=BE′时四边形A′F₃E′B是菱形；进行讨论即可求解．

解答 解：（1）当y=0时，-$\frac{6}{5}$x²+$\frac{4\sqrt{5}}{5}$x+2=0，
解得x₁=$\sqrt{5}$，x₂=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
即A（-$\frac{\sqrt{5}}{3}$，0），B（$\sqrt{5}$，0），
当x=0时，y=2，即C（0，2），
直线BC的解析式为y=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x+2，
直线AD的解析式为y=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x-$\frac{2}{3}$，
抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
当x=$\frac{\sqrt{5}}{3}$时，y=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x-$\frac{2}{3}$=-$\frac{4}{3}$，
即D点坐标为（$\frac{\sqrt{5}}{3}$，-$\frac{4}{3}$）；

（2）如图1，作PF∥y轴交BC于F，
则△PQF∽△BOC，
∴$\frac{PQ}{PF}$=$\frac{BO}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$
即PQ=$\frac{\sqrt{5}}{3}$PF
设P（t，-$\frac{6}{5}$t²+$\frac{4\sqrt{5}}{5}$t+2），F（t，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$t+2）
∴PF=-$\frac{6}{5}$t²+$\frac{6\sqrt{5}}{5}$t
当t=$\frac{\sqrt{5}}{2}$时，PF取最大值，PQ取最大值，
此时P（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5}{2}$）
作MN⊥x轴于N，则△BMN∽△BOC，
∴$\frac{MN}{BM}$=$\frac{OC}{BC}$=$\frac{2}{3}$
即MN=$\frac{2}{3}$BM，
则当P，M，N共线时，PM+$\frac{2}{3}$BM=PN=$\frac{5}{2}$，
M（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，1）；

（3）如图2所示，
1）当A′E′=A′B，A′E′∥BF₁，A′E′=BF₁时四边形A′E′F₁B是菱形，
此时A₁′（$\frac{\sqrt{5}}{3}$，$\frac{8}{3}$），A₂′（-$\frac{23\sqrt{5}}{63}$，-$\frac{8}{63}$）；
2）当A′E′=E′B，A′E′∥BF₂，A′E′=BF₂时四边形A′E′F₂B是菱形，
此时A₃′（-$\frac{\sqrt{5}}{3}$，0），A₄′（-$\frac{65\sqrt{5}}{63}$，-$\frac{176}{63}$）；
3）当A′B=E′B，A′F₃∥BE′，A′F₃=BE′时四边形A′F₃E′B是菱形，
此时A₅′（-$\frac{22\sqrt{5}}{63}$，-$\frac{4}{63}$）．

点评 考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的性质，菱形的性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，综合性较强，有一定的难度．