如图.平行四边形ABCD中.D点在抛物线y=$\frac{1}{8}$x2+bx+c上.且OB=OC.AB=5.tan∠ACB=$\frac{3}{4}$.M是抛物线与y轴的交点．(1)求直线AC和抛物线的解析式,(2)动点P从A到D.同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动．问:当P运动到何处时.△APQ是直角三角形?中当P运动到某处时.四边形PDCQ的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．

如图，平行四边形ABCD中，D点在抛物线y=$\frac{1}{8}$x²+bx+c上，且OB=OC，AB=5，tan∠ACB=$\frac{3}{4}$，M是抛物线与y轴的交点．
（1）求直线AC和抛物线的解析式；
（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动．问：当P运动到何处时，△APQ是直角三角形？
（3）在（2）中当P运动到某处时，四边形PDCQ的面积最小，求此时△CMQ的面积．

分析（1）首先利用锐角三角函数关系得出A，C点坐标，再求出一次函数解析式，根据平行四边形的性性质求出点D坐标，利用待定系数法可求出b、c的值，继而得出二次函数表达式；
（2）设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5-t，再由△APQ∽△CAO或△AQP∽△CAO，利用对应边成比例可求出t的值，继而确定点P的位置；
（3）只需使△APQ的面积最大，就能满足四边形PDCQ的面积最小，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽△CAO，利用对应边成比例得出h的表达式，继而表示出△APQ的面积表达式，即可得出四边形PDCQ的最小值，也可确定点P的位置，进而得出Q的位置，进而得出△CMQ的面积．

解答解：（1）如图1，∵tan∠ACB=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{AO}{CO}$=$\frac{3}{4}$，
∴设AO=3x，CO=4x，∵OB=OC，
∴BO=4x，
∴AB²=AO²+BO²，
则25=25x²，
解得：x=1（负数舍去），
∴AO=3，BO=CO=4，
∴A（0，3），B（-4，0），C（4，0），
∴设直线AC的解析式为：y=kx+d，
则$\left\{\begin{array}{l}{d=3}\\{4k+d=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{d=3}\\{k=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
故直线AC的解析式为：y=-$\frac{3}{4}$x+3；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8，
∴D（8，3），
∵B，D点都在抛物线y=$\frac{1}{8}$x²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{8}×64+8b+c=3}\\{\frac{1}{8}×16-4b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{1}{4}}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
故此抛物线解析式为：y=$\frac{1}{8}$x²-$\frac{1}{4}$x-3；

（2）①如图2，∵OA=3，OB=4，
∴AC=5．
设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5-t，
∵PQ⊥AC，
∴∠AQP=∠AOC=90°，∠PAQ=∠ACO，
∴△APQ∽△CAO，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AQ}{CO}$，即$\frac{t}{5}$=$\frac{5-t}{4}$，
解得：t=$\frac{25}{9}$．
②如图3，设点P运动了t秒时，当QP⊥AD，此时AP=t，CQ=t，AQ=5-t，
∵QP⊥AD，
∴∠APQ=∠AOC=90°，∠PAQ=∠ACO，
∴△AQP∽△CAO，
∴$\frac{AQ}{AC}$=$\frac{AP}{CO}$，即$\frac{5-t}{5}$=$\frac{t}{4}$，
解得：t=$\frac{20}{9}$．
即当点P运动到距离A点$\frac{25}{9}$或$\frac{20}{9}$个单位长度处，△APQ是直角三角形；

（3）如图4，∵S_{四边形PDCQ}+S_△APQ=S_△ACD，且S_△ACD=$\frac{1}{2}$×8×3=12，
∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，
当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5-t，
设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，
由△AQH∽△CAO可得：$\frac{h}{3}$=$\frac{5-t}{5}$，
解得：h=$\frac{3}{5}$（5-t），
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$t×$\frac{3}{5}$（5-t）=$\frac{3}{10}$（-t²+5t）=-$\frac{3}{10}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{15}{8}$，
∴当t=$\frac{5}{2}$时，S_△APQ达到最大值$\frac{15}{8}$，此时S_{四边形PDCQ}=12-$\frac{15}{8}$=$\frac{81}{8}$，
故当点P运动到距离点A，$\frac{5}{2}$个单位处时，四边形PDCQ面积最小，
则AQ=QC=$\frac{5}{2}$，
故△CMQ的面积为：$\frac{1}{2}$S_△AMC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×4×6=6．