Question

如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，点E、F在BD上，求证：BE²+FD²=EF²．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,正方形的性质

专题：证明题

分析：把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，连接EG，根据旋转的性质可得BG=DF，AG=AF，∠BAG=∠DAF，∠ABG=∠ADF，再求出∠GAE=45°，从而得到∠GAE=∠EAF，然后利用“边角边”证明△AEG和△AEF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=EG，再求出∠GBE=90°，然后利用勾股定理列式证明即可．

解答：证明：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，连接EG，
∴BG=DF，AG=AF，∠BAG=∠DAF，∠ABG=∠ADF，
∵∠EAF=45°，
∴∠GAE=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°，
∴∠GAE=∠EAF，
在△AEG和△AEF中，

AG=AF ∠GAE=∠EAF AE=AE

，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EF=EG，
在在正方形ABCD中，∠ABE=∠ADF=45°，
∴∠GBE=∠ABG+∠ABE=45°+45°=90°，
∴BE²+BG²=EG²，
即BE²+FD²=EF²．

点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，熟记各性质是解题的关键，难点在于作辅助线构造成全等三角形和直角三角形．