Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c与直线y=

1

2

x+4交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（6，7）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F，作PM⊥CD于点M．
（1）求抛物线的解析式及sin∠PFM的值．
（2）设点P的横坐标为m：
①若P在CD上方，用含m的代数式表示线段PM的长，并求出线段PM长的最大值；
②当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）易求C点的坐标，再把C和D点的坐标代入抛物线y=-x²+bx+c可求出b和c的值则抛物线的解析式可求出；若要求sin∠PFM的值可转化为求sin∠OCE；
（2）①设点P的横坐标为m，则P（m，-m²+

13

2

m+4），F（m，

1

2

m+4）．则PF=y_P-y_F=（-m²+

13

2

m+4）-（

1

2

m+4）=-m²+6m，进而根据二次函数的性质即可求出线段PM长的最大值；
②若以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形，只要PF=OC=4，将直线y=

1

2

x+4沿y轴向上或向下平移4个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点．由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个，再分别求出即可．

解答：解：（1）C在直线y=

1

2

x+4上，
∴C（0，4）．
∵点C（0，4）、D（6，7）在抛物线y=-x²+bx+c上，
∴

c=4 -36+6b+c=7

，
解得

b= 13 2 c=4

，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+

13

2

x+4．
∵PE∥y轴，
∴∠PFM=∠OCE．
∴sin∠PFM=sin∠OCE=

OE

CE

=

8

4 5

=

2 5

5

，
（2）①设点P的横坐标为m，则P（m，-m²+

13

2

m+4），F（m，

1

2

m+4）．
∵PF=y_P-y_F=（-m²+

13

2

m+4）-（

1

2

m+4）=-m²+6m，
在Rt△PFM中，PM=PF sin∠PFM=

2 5

5

（-m²+6m），
=-

2 5

5

（m²-6m），
∵-

2 5

5

＜0，当m=3时，PM有最大值是

18 5

5

，
②∵PF∥OC，
若以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形，只要PF=OC=4，
∴将直线y=

1

2

x+4沿y轴向上或向下平移4个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点．
由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个．
将直线y=

1

2

x+4沿y轴向上平移4个单位，得到直线y=

1

2

x+8，
联立，

y= 1 2 x+8 y=-x2+ 13 2 x+4

，
解得x₁=3-

5

，x₂=3+

5

，∴m₁=3-

5

，m₂=3+

5

；
将直线y=

1

2

x+2沿y轴向下平移4个单位，得到直线y=

1

2

x，
联立

y= 1 2 x y=-x2+ 13 2 x+4

，
解得x₃=3+

13

，x₄=3-

13

（在y轴左侧，不合题意，舍去），
∴m₃=3+

13

．
∴当m为值为3-

5

，3+

5

或3+

13

时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形．

点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、解方程（方程组）、平行四边形、相似三角形（或三角函数）、勾股定理等重要知识点．第（2）问采用数形结合思想求解，直观形象且易于理解，题目的难度很大，对学生的解题能力要求很高．