启知学习小组在课外学习时.发现了这样一个问题:如图(1).在四边形ABCD中.连接AC.BD.如果△ABC与△BCD的面积相等.那么AD∥BC在小组交流时.他们在图(1)中添加了如图所示的辅助线.AE⊥BC于点E.DF⊥BC于点F．请你完成他们的证明过程．结论应用在平面直角坐标系中.反比例函数y=$\frac{m}{x}$.B(a.b)两点.过点A作AC⊥x轴于� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．启知学习小组在课外学习时，发现了这样一个问题：如图（1），在四边形ABCD中，连接AC，BD，如果△ABC与△BCD的面积相等，那么AD∥BC
在小组交流时，他们在图（1）中添加了如图所示的辅助线，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．请你完成他们的证明过程．
结论应用
在平面直角坐标系中，反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x≠0）的图象经过A（1，4），B（a，b）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D．
（A）
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图（2），已知b=1，AC，BD相交于点E，求证：CD∥AB．
（B）
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图（3），若点B在第三象限，判断并证明CD与AB的位置关系．

分析先根据两三角形的面积相等得出AE=AF，再由AE⊥BC，DF⊥BC得出AE∥DF，故可判断出四边形AEFD是平行四边形，由此可得出结论；
（A）（1）直接把点A的坐标代入反比函数的解析式即可；
（2）连接AD、BC，先根据b=1得出B点坐标，再由AC⊥x轴，BD⊥y轴得出C、D、E三点坐标，故可得出CE=DE=1，AE=BE=3．再由S_△ABC=S_△ADB即可得出结论；
（B）（1）直接把点A的坐标代入反比函数的解析式即可；
（2）连接AD，BC，延长BD，AC相交于点M，根据A（1，4），B（a，b）可得出M（1，b），BM=1-a，AM=4-b，且b=$\frac{4}{a}$，再得出S_△ABC及S_△ABD表达式即可得出S_△ABC=S_△ABD，由此得出结论．

解答解：∵AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AE，S_△BCD=$\frac{1}{2}$BC•DF．
∵S_△ABC=S_△BCD，
∴AE=DF．
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥BC．
（A）（1）∵把点A（1，4）代入反比例函数y=$\frac{m}{x}$得，4=$\frac{m}{1}$，解得m=4，
∴反比例函数的表达式为：y=$\frac{4}{x}$；
（2）如图1，连接AD、BC，
∵把b=1代入函数解析式得，a=4，
∴B（4，1）．
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，
∴AC⊥BC，C（1，0），D（0，1），E（1，1），
∴CE=DE=1，AE=BE=3．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BE，S_△ADB=$\frac{1}{2}$BD•AE，且AC=BD=4，BE=AE=3，
∴S_△ABC=S_△ADB，
∴CD∥AB．

（B）（1）∵A（1，4），
∴4=$\frac{m}{1}$，解得m=4，
∴反比例函数的表达式为：y=$\frac{4}{x}$；
（2）CD∥AB．
理由：如图2，连接AD，BC，延长BD，AC相交于点M，
∵A（1，4），B（a，b），
∴M（1，b），BM=1-a，AM=4-b，且b=$\frac{4}{a}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BM=$\frac{1}{2}$×4（1-a）=2（1-a），
S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AM=$\frac{1}{2}$（-a）（4-b）=$\frac{1}{2}$（-a）（4-$\frac{4}{a}$）=2（1-a），
∴S_△ABC=S_△ABD，
∴CD∥AB．