Question

2．如图，圆柱底面圆的半径为$\frac{2}{π}$ cm，高为9cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一母线上，用一根棉线从点A顺着圆柱侧面绕3圈到点B，那么这根棉线的长度最短是多少？

Answer 1

分析 求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．

解答 解：圆柱体的展开图如图所示，
用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB，
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短，
∵圆柱底面半径为$\frac{2}{π}$cm，
∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长=2π×$\frac{2}{π}$=4cm，
又∵圆柱高为9cm，
∴小长方形的一条边长是3cm，
根据勾股定理求得AC=CD=DB=5cm，
∴AC+CD+DB=15cm，
答：这根棉线的长度最短是15cm．

点评 本题主要考查了圆柱的计算、平面展开-路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．解题的关键就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．