Question

4．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D是AC上的中点，E是BC上一点，将△ABC沿AE折叠，点B恰好落在边AC上的点F处，连接BD，交AE于点G，连接FG．以下结论：①tan∠EAF=$\frac{1}{2}$；②FG∥BC；③点E关于FG对称的点不在边AC上；④BE=BG；⑤S_{四边形DFEG}=S_△ADG其中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①错误，设EB=EF=FC=a，则EC=$\sqrt{2}$a，AB=BC=（$\sqrt{2}$+1）a，因为∠EAB=∠EAF，求出tan∠EAB即可．②正确，只要证明FG是∠AFE角平分线即可．③错误．可以根据∠AFG=∠EFG进行判断．④正确，只要证明四边形EFGB是菱形即可，⑤正确，只要证明$\frac{AD}{AF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$以及△ADG∽△AEF，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题．

解答 解：∵BA=BC，∠ABC=90°，AD=DC，
∴BD=DC=AD，∠C=∠CBD=∠ABD=∠CAB=45°，
∵△AEF是由△AEB翻折，
∴∠AFB=∠ABE=90°，∠EBG=∠EFG=45°，AF=AB，
∴∠AFG=∠C=45°，
∴FG∥BC，故②正确，
∵∠AFG=∠EFG=45°，
∴点E关于FG的对称点在直线FA上，故③错误，
∵∠C=45°，∠CFE=90°，
∴∠C=∠FEC=45°，
∴CF=EF，
设EB=EF=FC=a，则EC=$\sqrt{2}$a，AB=BC=（$\sqrt{2}$+1）a，
∵∠EAB=∠EAF，
∴tan∠CAE=tan∠EAB=$\frac{EB}{AB}$=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$，故①错误．
∵AF=AB=（$\sqrt{2}$+1）a，AB=（$\sqrt{2}$+2）a，
∴AD=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1）a，
∴$\frac{AD}{AF}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵FG∥EB，BG∥EF，
∴四边形EFGB是平行四边形，
∵EB=EF，
∴四边形EFGB是菱形，
∴EB=GB，故④正确，
∵DG∥EF，
∴△ADG∽△AEF，
∴$\frac{{S}_{△ADG}}{{S}_{△AEF}}$=（$\frac{AD}{AF}$）²=$\frac{1}{2}$，
∴S_{四边形DFEG}=S_△ADG故⑤正确．
故选C．

点评 本题考查翻折变换、等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质等知识，利用翻折不变性是解决问题的关键，注意面积问题转化为相似三角形的面积比问题，属于中考常考题型．