Question

如图，过△ABC顶点B，C分别作AB、AC的垂线BD、CD交于D，过C作CE⊥AD于E，求证：△ACE∽△ABC．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：证明题

分析：由条件可分别证得△AFE∽△ABD，△AFC∽△ACD，可得AE•AB=AF•AD、AF•AD=AC•AC，可得到即

AE

AC

=

AC

AB

，且∠CAE=∠BAC，可证得△ACE∽△ABC．

解答：证明：
因为∠AFE=∠ABD=90°，且∠EAF=∠DAB，
所以△AFE∽△ABD，
则

AE

AD

=

AF

AB

，
即AE•AB=AF•AD①，
同理由∠AFC=∠ACD=90°，且∠CAF=∠DAC，
所以△AFC∽△ACD，
则

AF

AC

=

AC

AD

，
即AF•AD=AC•AC②，
由①②两式易知：
AE•AB=AC•AC，
即

AE

AC

=

AC

AB

，又∠CAE=∠BAC，
所以△ACE∽△ABC．

点评：本题主要考查三角形相似的判定和性质，利用条件证明三角形相似，再由相似三角形的性质得到

AE

AC

=

AC

AB

是解题的关键．