Question

如图，在正五边形ABCDE中，对角线AC，BD相交于点F．
（1）判断△ABF的形状，并说明理由；
（2）求证：四边形AFDE为菱形．

Answer 1

考点：正多边形和圆,菱形的判定

专题：

分析：（1）利用正五边形的性质求出各内角度数，进而利用等腰三角形的性质和判定得出答案．
（2）首先由正五边形的性质可得AB=BC=CD=DE=AE，BE∥CD，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=BE，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证．

解答：解：△ABF是等腰三角形，
理由是：∵在正五边形ABCDE中，对角线BD、AC交于F，
∴∠AED=∠EDC=∠BCD=108°，AC=BD，AE=DE，
∴∠BAC=∠CBD=36°，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=108°-36°=72°；
∴∠AFB=180°-36°-72°=72°，
∴∠ABD=∠AFB，
∴△ABF为等腰三角形；
（2）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD=DE=AE，BD∥AE，AC∥DE，
∴四边形DENC是平行四边形，
∵AE=AF，
∴四边形AFDE是菱形．

点评：本题考查了正多边形的性质，利用正五边形的性质得出内角度数是解题关键．