Question

20．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边的右侧，连接DA、DB、DC，若AD=DC，∠ADB=∠ACB，AD=5，BD=11，则BC边的长为$\frac{24}{5}$$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 过A作AE⊥BC于E，AM⊥BD于M，AH⊥CD交CD的延长线于H，根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，由已知条件推出A，B，C，D四点共圆，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质得到∠ADH=∠ABC=∠ACB=∠ADB，证得AD平分∠BDH，根据角平分线的性质得到AM=AH，推出Rt△ADM≌Rt△AHD，根据全等三角形的性质得到DM=DH，证△ABM≌△ACH，于是得到BM=CH，求得BM=CD+DH=5+DM，根据勾股定理得到AM=$\sqrt{A{D}^{2}-D{M}^{2}}$=4，AB=$\sqrt{A{M}^{2}+B{M}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：过A作AE⊥BC于E，AM⊥BD于M，AH⊥CD交CD的延长线于H，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠ADH=∠ABC=∠ACB=∠ADB，
∴AD平分∠BDH，
∴AM=AH，
在Rt△ADM与Rt△AHD中，$\left\{\begin{array}{l}{AM=AH}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADM≌Rt△AHD，
∴DM=DH，
在△ABM与△ACH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AMB=∠AHC=90°}\\{∠ABM=∠ACH}\\{AM=AH}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACH，
∴BM=CH，
∴BM=CD+DH=5+DM，
∴5+DM+DM=11，
∴DM=3，BM=8，
∵AM=$\sqrt{A{D}^{2}-D{M}^{2}}$=4，
∴AB=$\sqrt{A{M}^{2}+B{M}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵cos∠ADM=$\frac{DM}{AD}=\frac{3}{5}$，
∴cos∠ACE=$\frac{3}{5}$=$\frac{CE}{AC}$，
∴CE=$\frac{3}{5}$AC=$\frac{12}{5}$$\sqrt{5}$，
∴BC=$\frac{24}{5}$$\sqrt{5}$．
故答案为：$\frac{24}{5}$$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．