Question

11．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合）．过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值并此时写出点E坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线解析式，可求出A、B、C的坐标，继而可得出AB和OC的长；
（2）根据ED∥BC，可判断△AED∽△ABC，再由相似三角形的面积比等于相似比平方，可得出s关于m的函数关系式，结合题意可得m的取值范围；
（3）根据S_△EDC=S_△AEC-S_△AED，可得△CDE的面积关于m的表达式，利用配方法可求出△CDE面积的最大值，进而得出EO的长，即可得出E点坐标．

解答 解：（1）在y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-9中，
令x=0，得y=-9，
∴C（0，-9）；
令y=0，即0=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-9，
解得：x₁=-3，x₂=6，
∴A（-3，0）、B（6，0），
∴AB=9，OC=9．

（2）∵ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△AED}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AE}{AB}$）²，即：$\frac{s}{\frac{1}{2}×9×9}$=（$\frac{m}{9}$）²，
∴s=$\frac{1}{2}$m²（0＜m＜9）．

（3）∵S_△AEC=$\frac{1}{2}$AE•OC=$\frac{9}{2}$m，S_△AED=s=$\frac{1}{2}$m²，
∴S_△EDC=S_△AEC-S_△AED=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m=-$\frac{1}{2}$（m-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{81}{8}$，
当m=$\frac{9}{2}$时，S_△EDC取得最大，最大值为$\frac{81}{8}$．
故△CDE的最大面积为$\frac{81}{8}$，
此时，OE=AE-AO=$\frac{9}{2}$-3=$\frac{3}{2}$，
故E点坐标为：（$\frac{3}{2}$，0）．

点评 本题考查了二次函数的综合，涉及了相似三角形的判定与性质、配方法求二次函数最值等知识，正确利用相似三角形的判定与性质得出s与m的函数关系是解题关键．