Question

8．在△ABC中，AB=AC，D是边AC上的一点，E是边AB上的一点，联结BD、DE，已知AD=BD=BE=BC，写出该图形中的所有相似三角形，并简要说明理由．

Answer 1

分析 如图，设∠A=x，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠ABC=∠C=90°-$\frac{1}{2}$x，由AD=BD得到∠1=∠A=x，则∠DBC=90°-$\frac{3}{2}$x，接着由BD=BC得到∠2=∠C=90°-$\frac{1}{2}$x，于是根据三角形内角和定理可得90°-$\frac{3}{2}$x+90°-$\frac{1}{2}$x+90°-$\frac{1}{2}$x=180°，解得x=36°，然后计算出图中所有角的度数，再利用有两组角对应相等的两个三角形相似找相似三角形．

解答 解：如图，
设∠A=x，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-x）=90°-$\frac{1}{2}$x，
∵AD=BD，
∴∠1=∠A=x，
∴∠DBC=90°-$\frac{1}{2}$x-x=90°-$\frac{3}{2}$x，
∵BD=BC，
∴∠2=∠C=90°-$\frac{1}{2}$x，
而∠DBC+∠2+∠C=180°，
∴90°-$\frac{3}{2}$x+90°-$\frac{1}{2}$x+90°-$\frac{1}{2}$x=180°，解得x=36°，
∴∠A=∠1=36°，
∠DBC=90°-$\frac{3}{2}$×36°=36°，
∴∠3=∠4=∠C=∠ABC=72°，
∴△ABC∽△BED∽△BDC．

点评 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理．