Question

6．问题探索：
（1）如图1，已知四边形ABCD中，AB=a，BC=b，∠B=∠D=90°，求：
①对角线BD长度的最大值；②四边形ABCD的最大面积；（用含有a，b的代数式表示）
（2）如图2，四边形ABCD是某市规划用地示意图，经测量得到如下数据：AB=20cm，BC=30cm，∠B=120°，∠A+∠C=195°，请你用所学到的知识探索出它的最大面积，并说明理由．（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）①由条件可知AC为直径，可知BD长度的最大值为AC的长，可求得答案；②连接AC，求得AD²+CD²，利用不等式的性质可求得AD•CD的最大值，从而可求得四边形ABCD面积的最大值；
（2）连接AC，延长CB，过点A做AE⊥CB交CB的延长线于E，可先求得△ABC的面积，结合条件可求得∠D=45°，且A、C、D三点共圆，作AC、CD中垂线，交点即为圆心O，当点D与AC的距离最大时，三角形ACD的面积最大，AC的中垂线交圆O于点D'，交AC于F，FD'即为所求最大值，再求得
△ACD′的面积即可．

解答 解：（1）①因为∠B=∠D=90°，所以四边形ABCD是圆内接四边形，
AC为圆的直径，则BD长度的最大值为AC，此时BD=$\sqrt{{a^2}+{b^2}}$，
②如图1，连接AC，则AC²=AB²+BC²=a²+b²=AD²+CD²，

∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$AD•CD≤$\frac{1}{4}$（AD²+CD²）=$\frac{1}{4}$（a²+b²），
∴四边形ABCD的最大面积=$\frac{1}{4}$（a²+b²）+$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{4}$（a²+b²+2ab）；
（2）如图2，连接AC，延长CB，过点A做AE⊥CB交CB的延长线于E，

∵AB=20，∠ABE=180°-∠ABC=60°，
∴AE=AB•sin60°=10$\sqrt{3}$，EB=AB•cos60°=10，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AE•BC=$\frac{1}{2}$×10$\sqrt{3}$×30=150$\sqrt{3}$，
∵BC=30，
∴EC=EB+BC=40，
∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+E{C}^{2}}$=10$\sqrt{19}$，
∵∠ABC=120°，∠BAD+∠BCD=195°，
∴∠D=45°，
在三角形ACD中，D角为定角，对边AC为定边，
∴A、C、D点在同一个圆上，
作AC、CD中垂线，交点即为圆心O，如图，
当点D与AC的距离最大时，三角形ACD的面积最大，AC的中垂线交圆O于点D'，交AC于F，FD'即为所求最大值，
连接OA、OC，则∠AOC=2∠AD'C=90°，OA=OC，
∴△AOC，△AOF为等腰直角三角形，
∴AO=OD′=5$\sqrt{38}$，OF=AF=$\frac{1}{2}$AC=5$\sqrt{19}$，
∴D′F=OD′+OF=5$\sqrt{38}$+5$\sqrt{19}$，
∴S_△ACD′=$\frac{1}{2}$AC•D′F=$\frac{1}{2}$×10$\sqrt{19}$×（5$\sqrt{38}$+5$\sqrt{19}$）=475$\sqrt{2}$+475，
∴四边形ABCD面积的最大=S_△ABC+S_△ACD′=150$\sqrt{3}$+475$\sqrt{2}$+475．

点评 本题为圆的综合应用，涉及知识点有圆周角定理、不等式的性质、解直角三角形及转化思想等．在（1）中注意直径是最长的弦，在（2）中确定出四边形ABCD面积最大时D点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，计算量很大，难度适中．