Question

20．有一串数：1，2²，3³，4⁴，…，2004²⁰⁰⁴，2005²⁰⁰⁵，2006²⁰⁰⁶．大明从左往右依次计算前面1003个数的末位数字之和，并且记为a，小光计算余下的1003个数的末位数字之和，并且记为b，则a-b=（　　）

• A． -3
• B． 3
• C． -5
• D． 5

Answer 1

分析 设n为正整数，计算可知1ⁿ，5ⁿ，6ⁿ，10ⁿ的末位数字分别是1，5，6，0，2ⁿ的末位数字以2，4，8，6为循环，3ⁿ的末位数字以3，9，7，1为循环，4ⁿ的末位数字以4，6为循环，7ⁿ的末位数字以7，9，3，1为循环，8ⁿ的末位数字以8，4，2，6为循环，9ⁿ的末位数字以9，1为循环，因为1，2，4都是1000的约数，所以4⁴至1003¹⁰⁰³分别与1004¹⁰⁰⁴至2003²⁰⁰³的末位数字相同，可得a-b的值为1，2²，3³的末位数字之和减去2004²⁰⁰⁴，2005²⁰⁰⁵，2006²⁰⁰⁶的末位数字之和，依此即可求解．

解答 解：设n为正整数，计算可知1ⁿ，5ⁿ，6ⁿ，10ⁿ的末位数字分别是1，5，6，0，
2ⁿ的末位数字以2，4，8，6为循环，
3ⁿ的末位数字以3，9，7，1为循环，
4ⁿ的末位数字以4，6为循环，
7ⁿ的末位数字以7，9，3，1为循环，
8ⁿ的末位数字以8，4，2，6为循环，
9ⁿ的末位数字以9，1为循环，
因为1，2，4都是1000的约数，
所以4⁴至1003¹⁰⁰³分别与1004¹⁰⁰⁴至2003²⁰⁰³的末位数字相同，
所以a-b的值为1，2²，3³的末位数字之和减去2004²⁰⁰⁴，2005²⁰⁰⁵，2006²⁰⁰⁶的末位数字之和，
1，2²，3³的末位数字分别为1，4，7，
2004²⁰⁰⁴，2005²⁰⁰⁵，2006²⁰⁰⁶的末位数字分别为6，5，6，
所以a-b=1+4+7-（6+5+6）=-5．
故选：C．

点评 考查了尾数特征，是乘方的个位数字循环性问题，解决本题的关键是得到幂的末位数字之间的规律．