Question

6．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．
（1）小明发现DG=BE且DG⊥BE，请你给出证明．
（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时△ADG的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正方形得到条件，判断出△ADG≌△ABE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）利用正方形的性质在Rt△AMD中，∠MDA=45°，AD=2从而得出AM=DM=$\sqrt{2}$，在Rt△AMG中，AM²+GM²=AG²从而得出GM=$\sqrt{7}$即可．

解答 （1）如图1，延长EB交DG于点H，

∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形，
∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE
在△ADG与△ABE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAG=∠BAE}\\{AG=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴∠AGD=∠AEB，
∵△ADG中∠AGD+∠ADG=90°，
∴∠AEB+∠ADG=90°，
∵△DEH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°，
∴∠DHE=90°，
∴DG⊥BE；

（2）如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，

∠AMD=∠AMG=90°，
∵BD是正方形ABCD的对角，
∴∠MDA=45°
在Rt△AMD中，
∵∠MDA=45°，AD=2，
∴AM=DM=$\sqrt{2}$，
在Rt△AMG中，
∵AM²+GM²=AG²
∴GM=$\sqrt{7}$，
∵DG=DM+GM=$\sqrt{2}$+$\sqrt{7}$，
∴S_△ADG=$\frac{1}{2}$DG•AM=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$+$\sqrt{7}$）$\sqrt{2}$=1+$\frac{1}{2}$$\sqrt{14}$．

点评 此题考查了旋转的性质和正方形的性质，用到的知识点是旋转的性质、全等三角形的判定，勾股定理和正方形的性质，关键是根据题意画出辅助线，构造直角三角形．