Question

11．如图，两个反比例函数y=$\frac{1}{x}$和y=$\frac{-2}{x}$的图象分别是C₁和C₂，点P是C₁上自左向右运动的动点，PD⊥x轴，垂足为C，交C₂于点D，PA⊥y轴，垂足为B，交C₂于点A，则关于四边形ABCD的面积说法正确的是（　　）

• A． 逐渐变大
• B． 逐渐变小
• C． 不变，面积为$\frac{9}{2}$
• D． 不变，面积为4

Answer 1

分析 设P的坐标是（a，$\frac{1}{a}$），推出点A和点D的坐标，求出∠APD=90°，求出PA、PD的值，根据三角形的面积公式求出△PAD的面积；根据反比例函数系数k的几何意义，得出△PBC的面积=$\frac{1}{2}$矩形OBPC的面积=$\frac{1}{2}$；然后根据四边形ABCD的面积=△PAD的面积-△PBC的面积计算即可．

解答 解：∵点P在y=$\frac{1}{x}$的图象上，
∴|x_p|×|y_p|=|k|=1，
∴设P的坐标是（a，$\frac{1}{a}$）（a为正数），
∵PD⊥x轴，
∴D的横坐标是a，
∵D在y=$\frac{-2}{x}$的图象上，
∴D的坐标是（a，-$\frac{2}{a}$），
∵PA⊥y轴，
∴A的纵坐标是$\frac{1}{a}$，
∵A在y=$\frac{-2}{x}$的图象上，
∴代入得：$\frac{1}{a}$=-$\frac{2}{x}$，
解得：x=-2a，
∴A的坐标是（-2a，$\frac{1}{a}$），
∴PA=a-（-2a）=3a，PD=$\frac{1}{a}$-（-$\frac{2}{a}$）=$\frac{3}{a}$，
∵PA⊥y轴于B，PD⊥y轴于C，x轴⊥y轴，
∴PA⊥PD，四边形OBPC是矩形，
∴△PAD的面积是：$\frac{1}{2}$PA×PD=$\frac{1}{2}$×3a×$\frac{3}{a}$=$\frac{9}{2}$；
∵点P在y=$\frac{1}{x}$的图象上，PA⊥y轴于B，PD⊥y轴于C，
∴△PBC的面积=$\frac{1}{2}$矩形OBPC的面积=$\frac{1}{2}$，
∴四边形ABCD的面积=△PAD的面积-△PBC的面积
=$\frac{9}{2}$-$\frac{1}{2}$=4．
故选D．

点评 此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义和三角形面积公式的应用，根据已知得出△PAD面积与△PBC的面积是解决问题的关键．本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目．