Question

6．如图，点D为BA延长线上的一点，且∠B=45°，∠D=∠ACB=60°，AB=3$\sqrt{2}$，
（1）试求BC的长；
（2）尺规作图：作出△ADC的外接圆⊙O（不写作法，保留作图痕迹），并求出⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）作辅助线构建两个直角三角形，一个是45°的等腰直角三角形，一个是60°的直角三角形，分别求出BE和EC，并相加．
（2）分别作边DC和AC的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心O；先求圆心角∠AOC=120°，在直角△OFC中利用勾股定理或三角函数求半径的长．

解答 解：（1）如图1，过A作AE⊥BC，垂足为E，
在直角△ABE中，∵∠B=45°，
∴AE=BE，
由勾股定理得：AE²+BE²=AB²，
2AE²=（3$\sqrt{2}$）²，
AE²=9，
AE=±3，
∵AE＞0，
∴AE=BE=3，
在直角△AEC中，∠ACB=60°，
∴tan60°=$\frac{AE}{EC}$，
∴EC=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
∴BC=BE+EC=3+$\sqrt{3}$．
（2）如图2，连接OA、OC，
∵∠D=60°，
∴∠AOC=120°，
∵OF是AC的垂直平分线，
∴∠FOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{{3}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴FC=$\sqrt{3}$，
∴sin60°=$\frac{FC}{OC}$，
∴OC=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
∴⊙O的半径为2．

点评 本题考查了三角形的外接圆、等腰直角三角形的性质和三角函数等知识的综合应用．本题的关键是恰当的构建直角三角形，利用勾股定理或三角函数求边长．