Question

18．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上的一点，且PA=PD，⊙O为△APD的外接圆．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，tan∠DAC=$\frac{1}{2}$，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）连结OP、OA，OP交AD于E，由PA=PD得弧AP=弧DP，根据垂径定理的推理得OP⊥AD，AE=DE，则∠1+∠OPA=90°，而∠OAP=∠OPA，所以∠1+∠OAP=90°，再根据菱形的性质得∠1=∠2，所以∠2+∠OAP=90°，然后根据切线的判定定理得到直线AB与⊙O相切；
（2）连接OP，OA，过点D作DE⊥AC于点E，由tan∠DAC=$\frac{1}{2}$可知DF=$\frac{1}{2}$AF，设AC=4a，则AF=2a，DF=a，AD=$\sqrt{5}$a，AE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，OE=OP-PE=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$-$\frac{\sqrt{5}}{4}$a，再根据勾股定理求出a的值，进而可得出AC的长．

解答 解：（1）直线AB与⊙O相切．理由如下：
连结OP、OA，OP交AD于E，如图，
∵PA=PD，
∴弧AP=弧DP，
∴OP⊥AD，AE=DE，
∴∠1+∠OPA=90°，
∵OP=OA，
∴∠OAP=∠OPA，
∴∠1+∠OAP=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠1=∠2，
∴∠2+∠OAP=90°，
∴OA⊥AB，
∴直线AB与⊙O相切；
（2）连结BD交AC于点F，则AC⊥BD．设⊙O的半径为r．
设AC=4a，
∴AF=2a，
∵tan∠DAC=$\frac{1}{2}$，
∴DF=a，
∴AD=$\sqrt{A{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
在Rt△AEP中，∵tan∠DAC=$\frac{1}{2}$，
∴EP=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{\sqrt{5}}{4}$a，
在Rt△AEO中，由勾股定理得：AE²+OE²=OA²，
即（$\frac{\sqrt{5}}{2}$a）²+（$\frac{5\sqrt{5}}{4}$-$\frac{\sqrt{5}}{4}$a）²=（$\frac{5\sqrt{5}}{4}$）²，
解得：a=2，
∴AC=4a=8．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了菱形的性质和锐角三角函数以及勾股定理．