Question

13．探索与证明：
如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC上的中点，EF⊥AE于点E，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）求证：AE=EF；
（2）如果点E是BC边上异于B、C的任意一点，其他条件不变，AE=EF吗？并证明．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点H，连接EH，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，得出对应边相等即可；
（2）在AB上截取BH=BE，连接HE，则△BHE是等腰直角三角形，AH=CE，证出∠AHE=∠ECF，∠1=∠2，由ASA证明△AHE≌△ECF，得出对应边相等即可．

解答 （1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示：
则AH=BH=$\frac{1}{2}$AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BCD=90°，AB=BC，
∵点E是BC上的中点，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC，
∴AH=BH=BE=CE，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴∠BHE=∠BEH=45°，
∴∠AHE=135°，
∵CF是正方形外角的平分线，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=90°+45°=135°，
∴∠AHE=∠ECF，
∵AE⊥EF，
∴∠2+∠AEB=90°，
∵∠1+∠AEB=90°，
∴∠1=∠2，
在△AHE和△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}&{\;}\\{AH=CE}&{\;}\\{∠AHE=∠ECF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
（2）解：AE=EF；理由如下：
在AB上截取BH=BE，连接HE，如图2所示：
则△BHE是等腰直角三角形，AH=CE，
∴BHE=∠BEH=45°，
∴∠AHE=135°，
∴∠1+∠HEA=45°，
由（1）得：∠ECF=135°，
∴∠AHE=∠ECF，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠1+∠CEF=45°，
∴∠1=∠2，
在△AHE和△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}&{\;}\\{AH=CE}&{\;}\\{∠AHE=∠ECF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．