Question

3．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC交AC的延长线于M，连CD，下列五个结论：
①AC+CE=AB，②BD=$\frac{1}{2}AE$，③BD=CD，④∠ADC=45°，⑤AB-BC=2MC；
其中不正确结论的个数有（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 过E作EQ⊥AB于Q，作∠ACN=∠BCD，交AD于N，过D作DH⊥AB于H，根据角平分线性质求出CE=EQ，DM=DH，根据勾股定理求出AC=AQ，AM=AH，根据等腰三角形的性质和判定求出BQ=QE，即可求出①；根据三角形外角性质求出∠CND=45°，证△ACN≌△BCD，推出CD=CN，即可求出②④；证△DCM≌△DBH，得到CM=BH，AM=AH，即可求出⑤．

解答 解：如图，过E作EQ⊥AB于Q，
∵∠ACB=90°，AE平分∠CAB，
∴CE=EQ，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
∵EQ⊥AB，
∴∠EQA=∠EQB=90°，
由勾股定理得：AC=AQ，
∴∠QEB=45°=∠CBA，
∴EQ=BQ，AC=BC
∴AB=AQ+BQ=AC+CE=BC+CE，
∴①正确；
作∠ACN=∠BCD，交AD于N，
∵∠CAD=$\frac{1}{2}$∠CAB=22.5°=∠BAD，
∴∠ABD=90°-22.5°=67.5°，
∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°=∠CAD，
∴∠DBC=∠CAD，
在△ACN和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠DBC}\\{AC=BC}\\{∠ACN=∠DCB}\end{array}\right.$
∴△ACN≌△BCD，
∴CN=CD，AN=BD，
∵∠ACN+∠NCE=90°，
∴∠NCB+∠BCD=90°，
∴∠CND=∠CDA=45°，
∴∠ACN=45°-22.5°=22.5°=∠CAN，
∴AN=CN，
∴∠NCE=∠AEC=67.5°，
∴CN=NE，
∴CD=AN=EN=$\frac{1}{2}$AE，
∵AN=BD，
∴BD=$\frac{1}{2}$AE，
∴②正确，④正确；
过D作DH⊥AB于H，
∵∠MCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，
∠DBA=90°-∠DAB=67.5°，
∴∠MCD=∠DBA，
∵AE平分∠CAB，DM⊥AC，DH⊥AB，
∴DM=DH，
在△DCM和△DBH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠DHB=90°}\\{∠MCD=∠DBA}\\{DM=DH}\end{array}\right.$，
∴△DCM≌△DBH，
∴BH=CM，BD=CD，
∴③正确；
过D作DH⊥AB于H，
∵∠MCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，
∠DBA=90°-∠DAB=67.5°，
∴∠MCD=∠DBA，
∵AE平分∠CAB，DM⊥AC，DH⊥AB，
∴DM=DH，
在△DCM和△DBH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠DHB=90°}\\{∠MCD=∠DBA}\\{DM=DH}\end{array}\right.$，
∴△DCM≌△DBH，
∴BH=CM，
由勾股定理得：AM=AH，
∴$\frac{AC+AB}{AM}=\frac{AC+AH+BH}{AM}=\frac{AC+AM+CM}{AM}$=$\frac{2AM}{AM}$=2，
∴AC+AB=2AM，
AC+AB=2AC+2CM，
AB-AC=2CM，
∵AC=CB，
∴AB-CB=2CM，
∴⑤正确．
错误的有0个．
故选：A．

点评 本题主要考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．