Question

10．如图，在△CDE中，DE=3$\sqrt{2}$，∠D=45°，∠E=75°，点B在DC的延长线上，BC=2，点A在射线DC的上方，AB⊥DC，垂足为B，且AB=2，现以AB为直径作半圆O．

发现：△CDE的边DC=3+$\sqrt{3}$，点C到半圆O上的点的最小距离为$\sqrt{5}$-1．最大距离为2$\sqrt{2}$．
将半圆O沿射线DC反方向平移，设平移距离为x．
思考：（1）当点B与点C重合时，求半圆O与△CDE重叠部分的面积；
（2）当直径AB完全落在△CDE内部（含端点在边界）时，x的取值范围是2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≤x≤3+$\sqrt{3}$．
探究：当弧$\widehat{AB}$与△CDE的边有两个交点时，求x的取值范围．

Answer 1

分析 发现：如图1中，作EH⊥CD于H．分别求出DH、CH即可．接CO交半圆于M、连接AC．则点C到半圆O上的点的最小距离为CM=OC-OM=$\sqrt{5}$-1，点C到半圆O上的点的最大距离为AC=2$\sqrt{2}$；
思考：（1）如图2中，当点B与点C重合时，半圆O与△CDE重叠部分的面积=S_扇形OMC-S_△OMC．
（2）如图3中，当点A在线段CE上时，设BC=a，求出此时的x．如图4中，当点A在线段DE上时，求出此时x即可．
探究：求出⊙O与CE、DE相切时的x的值，结合（2）中结果，即可解决问题．

解答 解：发现：如图1中，作EH⊥CD于H．

在Rt△DEH中，∵DE=3$\sqrt{2}$，∠D=45°，
∴∠D=∠DEH=45°，
∴EH=DH=3，
∵∠E=75°，
∴∠CEH=30°，
∴CH=$\sqrt{3}$，EC=2$\sqrt{3}$，
∴CD=3+$\sqrt{3}$．
连接CO交半圆于M、连接AC．则点C到半圆O上的点的最小距离为CM=OC-OM=$\sqrt{5}$-1，点C到半圆O上的点的最大距离为AC=2$\sqrt{2}$．
故答案为3+$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$-1，2$\sqrt{2}$．

思考：（1）如图2中，当点B与点C重合时，半圆O与△CDE重叠部分的面积=S_扇形OMC-S_△OMC．

∵AC∥EH，
∴∠ACM=∠CEH=30°，
∵OM=OC，
∴∠OMC=∠OCM=30°，
∴∠COM=120°，
∴半圆O与△CDE重叠部分的面积=S_扇形OMC-S_△OMC=$\frac{120•π•{1}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$$•\sqrt{3}$$•\frac{1}{2}$=$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

（2）如图3中，当点A在线段CE上时，设BC=a

∵AB∥EH，
∴$\frac{AB}{EH}$=$\frac{BC}{CH}$，
∴$\frac{2}{3}$=$\frac{a}{\sqrt{3}}$
∴a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．此时x=2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
如图4中，当点A在线段DE上时，易知AB=BD=2，BH=1，此时x=3+$\sqrt{3}$

∴当直径AB完全落在△CDE内部（含端点在边界）时，x的取值范围是2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≤x≤3+$\sqrt{3}$．

探究：当⊙O与DE相切时，设切点为N，连接ON、OD，在DB上取一点M，使得DM=OM．

则易知∠ODN=∠ODM=22.5°，∠OMB=45°，
∴OM=DM=$\sqrt{2}$，BM=1，
∴BC=3+$\sqrt{3}$-（$\sqrt{2}$+1）=2+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
此时x=4+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
如图6中，当⊙O与CE相切于点N时，易知∠OCB=∠OCN=60°，BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，此时x=2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

综上所述，当弧$\widehat{AB}$与△CDE的边有两个交点时2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜x≤2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或x=4+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$或3+$\sqrt{3}$＜x＜5+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查圆综合题、等腰直角三角形的性质．30度的直角三角形的性质、切线的判定和性质、勾股定理平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．