题目内容
14．
如图，点A（0，2），B（4，0）两点的坐标，将△ABO沿着垂直于x轴的线段CD折叠（点C在x轴上，点D在AB上，点D不与A，B重合），如图，使点E落在x轴上．设点C的坐标为（x，0），△CDE与△ABO重叠部分的面积为S．（1）试求出S与x之间的函数关系式（包括自变量x的取值范围）；
（2）当x为何值时，S的面积最大？最大值是多少？
（3）是否存在这样的点C，使得△ADE为直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）OB=4，C点的位置应分两种情况进行讨论，当C在OB的中点或在中点与B之间时，重合部分是△CDE；当C在OB的中点与O之间时，重合部分是梯形，就可以得到函数解析式．
（2）求出S与x之间的函数解析式，根据函数的性质就可以得到面积的最值．
（3）分△ADE以点A为直角顶点和△ADE以点E为直角顶点，两种情况进行讨论．根据相似三角形的对应边的比相等，求出OE的长，就可以得到C点的坐标．
解答 解：（1）①点E在原点和x轴正半轴上时，重叠部分是△CDE．
则S△CDE=$\frac{1}{2}$BC×CD=$\frac{1}{2}$（4-x）（-$\frac{1}{2}$x+2）
=$\frac{1}{4}$x2-2x+4；
当E与O重合时，CE=$\frac{1}{2}$BO=2，则2≤x＜4；
②当E在x轴的负半轴上时，设DE与y轴交于点F，则重叠部分为梯形．
∵△OFE∽△OAB
∴$\frac{OF}{OE}$=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴OF=$\frac{1}{2}$OE．
又∵OE=4-2x，
∴OF=$\frac{1}{2}$（4-2x）=2-x，
∴S四边形CDFO=$\frac{x}{2}$×[2-x+（-$\frac{1}{2}$x+2）]，
=-$\frac{3}{4}$x2+2x．
当点C与点O重合时，点C的坐标为（0，0）
∴0＜x＜2．
综合①②得S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}{x}^{2}-2x+4（2≤x＜4）}\\{-\frac{3}{4}{x}^{2}+2x（0＜x＜2）}\end{array}\right.$；
（2）①当2≤x＜4时，S=$\frac{1}{4}$x2-2x+4=$\frac{1}{4}$（x-4）2，
∴对称轴是直线x=4
∵抛物线开口向上，
∴在2≤x＜4中，S随x的增大而减小
∴当x=2时，S最大值=$\frac{1}{4}$×（2-4）2=1；
②当0＜x＜2时，S=-$\frac{3}{4}$x2+2x=-$\frac{3}{4}$（x-$\frac{4}{3}$）2+$\frac{4}{3}$，
∴对称轴是直线x=$\frac{4}{3}$，
∵抛物线开口向下，
∴当x=$\frac{4}{3}$时，S有最大值为$\frac{4}{3}$．
综合①②当x=$\frac{4}{3}$时，S有最大值为$\frac{4}{3}$；
（3）存在，点C的坐标为（$\frac{3}{2}$，0）和（$\frac{5}{2}$，0）．
附：详解：①当△ADE以点A为直角顶点时，作AE⊥AB交x轴负半轴于点E，
∵△AOE∽△BOA
∴$\frac{EO}{AO}$=$\frac{AO}{BO}$=$\frac{1}{2}$．
∵AO=2，
∴EO=1，
∴点E坐标为（-1，0），
∴点C的坐标为（$\frac{3}{2}$，0）；
②当△ADE以点E为直角顶点时，
同样有△AOE∽△BOA，则$\frac{OE}{AO}$=$\frac{OA}{BO}$=$\frac{1}{2}$，
∴EO=1，
∴E（1，0），
∴点C的坐标（$\frac{5}{2}$，0），
综合①②知满足条件的坐标有（$\frac{3}{2}$，0）和（$\frac{5}{2}$，0）．
点评 此题综合考查了相似综合题．其中涉及到了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数最值的求法、相似三角形的判定与性质以及多边形面积的求法等知识点．此题难度较大，注意掌握函数思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．
名校课堂系列答案
如图，∠AOB=90°，将Rt△OAB绕点O按逆时针方向旋转至Rt△OA′B′，使点B恰好落在边A′B′上．已知tanB=2，OB=5，则BB′=2$\sqrt{5}$．
如图，二次函数的图象与x轴相交于A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴相交于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
如图，已知正方形ABCD边长为6，将其折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是（ ）