Question

8．如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，抛物线y=ax²+bx+2交x正半轴 于点A，交x轴负半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，连接AC，tan∠OCA=2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第三象限抛物线y=ax²+bx+2上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线AC于点D，设PD的长为d，点P的横坐标为t，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接PA，PC，当△ACP的面积为30时，将△APC沿AP折叠得△APC′，点C′为点C的对应点，求点C′坐标并判断点C′是否在抛物线y=ax²+bx+2上，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先确定出点C，A，B的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先用t表示出PN，再用三角形的面积的计算方法即可得出结论；
（3）先利用三角形ACP的面积表示出点P的坐标，再判断出△AKC'≌△COA，进而得到C'K=4，AK=2，即可得出点C'的坐标，最后判断即可得出结论．

解答 解：（1）把x=0代入 y=ax²+bx+2，得，y=2，
∴C（0，2），
∴OC=2
∴OB=OC=2，
∴B（-2，0），
∵tan∠OCA=2，即$\frac{OA}{OC}=\frac{OA}{2}$=2，
∴OA=4，
∴A（4，0），
把B（-2，0），A（4，0）代入y=ax²+bx+2，
即$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式是y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2，
（2）如图，设PD交x轴于点N，
∵点P的横坐标为t，PN⊥x轴，
∴点N的横坐标为t，点P的纵坐标为-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{1}{2}$t+2，
∵点P在第三象限，
∴PN=$\frac{1}{4}$t²-$\frac{1}{2}$t-2，
∴AN=4-t，
∵∠DNA=∠COA=90°，
∴DN∥OC，
∴∠ADN=∠ACO
∴tan∠ADN=tan∠ACO=2
∴$\frac{AN}{DN}=\frac{4-t}{DN}=2$，
∴AN=2-$\frac{1}{2}$t         
∴d=PD=DN+PN=2-$\frac{1}{2}$t+$\frac{1}{4}$t²-$\frac{1}{2}$t-2=$\frac{1}{4}$t²-t（t＜-2）
（3）过点C作CR⊥PD于点R，过点C'作C'K⊥x轴于点K，
∵∠CRN=∠RNO=∠CON=90°，
∴四边形OCRN为矩形，
∴CR=ON，
∵△ACP的面积为30，
∴S_△ACP=S_△APD-S_△CPD=$\frac{1}{2}$PD×AN-$\frac{1}{2}$PD×CR=$\frac{1}{2}$PD（AN-CR）=$\frac{1}{2}$PD（AN-ON）=$\frac{1}{2}$PD×OA=$\frac{1}{2}$（ $\frac{1}{4}$t²-t）×4=$\frac{1}{2}$t²-2t=30
∴x=10 （舍去） x=-6
把x=-6代入y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2，
∴y=-10，
∴P（-6，-10），
∴PN=10，ON=6，
∴AN=PN=10，
∴∠PAN=∠APN=45°，
∵将△APC沿AP折叠得△APC'
△APC≌△APC'，
∴∠PAC'=∠PAC，即∠PAC'=∠PAN+∠CAO=45°+∠CAO
∴∠OAC'=∠PAO+∠PAC'=90°+∠CAO
∴∠CAK=180°-∠OAC'=90°-∠CAO=∠ACO
∵AC'=AC，∠AKC'=∠COA=90°，
∴△AKC'≌△COA    
∴C'K=OA=4，AK=OC=2，
∴OK=OA+AK=6，
∴C'（6，-4），
当x=6时，y=-4，∴点C'在抛物线y=ax²+bx+2上．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，锐角三角函数，折叠的性质，矩形的判定，三角形的面积的计算，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是△AKC'≌△COA．