Question

17．平面直角坐标系xOy中，对称轴平行于y轴的抛物线过点A（1，0）、B（3，0）和C（4，6）；
（1）求抛物线的表达式；
（2）现将此抛物线先沿x轴方向向右平移6个单位，再沿y轴方向平移k个单位，若所得抛物线与x轴交于点D、E（点D在点E的左边），且使△ACD∽△AEC（顶点A、C、D依次对应顶点A、E、C），试求k的值，并注明方向．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法直接求出抛物线的解析式；
（2）设出D，E坐标，根据平移，用k表示出平移后的抛物线解析式，利用坐标轴上点的特点得出m+n=16，mn=63-$\frac{k}{2}$，进而利用相似三角形得出比例式建立方程即可求出k

解答 解：（1）∵抛物线过点A（1，0）、B（3，0），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-3），
∵C（4，6），
∴6=a（4-1）（4-3），
∴a=2，
∴抛物线的解析式为y=2（x-1）（x-3）=2x²-8x+6；
（2）如图，设点D（m，0），E（n，0），
∵A（1，0），
∴AD=m-1，AE=n-1
由（1）知，抛物线的解析式为y=2x²-8x+6=2（x-2）²-2；
∴将此抛物线先沿x轴方向向右平移6个单位，得到抛物线的解析式为y=2（x-8）²-2；
∴再沿y轴方向平移k个单位，得到的抛物线的解析式为y=2（x-8）²-2-k；
令y=0，则2（x-8）²-2-k=0，
∴2x²-32x+126-k=0，
根据根与系数的关系得，
∴m+n=16，mn=63-$\frac{k}{2}$，
∵A（1，0），C（4，6），
∴AC²=（4-1）2+6²=45，
∵△ACD∽△AEC，
∴$\frac{AC}{AE}=\frac{AD}{AC}$，
∴AC²=AD•AE，
∴45=（m-1）（n-1）=mn-（m+n）+1，
∴45=63-$\frac{k}{2}$-16+1，
∴k=6，
即：k=6，向下平移6个单位．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，相似三角形的性质，根与系数的关系，解本题的关键是设出了点D，E的坐标，借助韦达定理直接求出k．