Question

3．如图，抛物线y=ax²-2ax-3a交x轴于点A、B（A左B右），交y轴于点C，S_△ABC=6，点P为第一象限内抛物线上的一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若∠PCB=45°，求点P的坐标；
（3）点Q为第四象限内抛物线上一点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，连接PC、AQ，当PC=$\frac{5}{9}$AQ时，求点P的坐标以及△PCQ的面积．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的面积求出a即可得出抛物线解析式；
（2）先判断出∠OBC=45°，而点P在第一象限，所以得出CP∥OB即：点P和点C的纵坐标一样，即可确定出点P坐标；
（3）根据点P在第一象限，点Q在第二象限，且横坐标相差1，进而设出点P（3-m，-m²+4m）（0＜m＜1）；得出点Q（4-m，-m²+6m-5），得出CP²，AQ²，最后建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²-2ax-3a=a（x+1）（x-3），
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3a），
∴AB=4，OC=|-3a|=|3a|，
∵S_△ABC=6，
∴$\frac{1}{2}$AB•OC=6，
∴$\frac{1}{2}$×4×|3a|=6，
∴a=-1或a=1（舍），
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；
（2）由（1）知，B（3，0），C（0，-3a），
∴C（0，3），
∴OB=3，OC=3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠BCO=∠OBC=45°，
∵点P为第一象限内抛物线上的一点，且∠PCB=45°，
∴PC∥OB，
∴P点的纵坐标为3，
由（1）知，抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，
令y=3，∴-x²+2x+3=3，
∴x=0（舍）或x=2，
∴P（2，3）；
（3）如图2，过点P作PD⊥x轴交CQ于D，设P（3-m，-m²+4m）（0＜m＜1）；
∵C（0，3），
∴PC²=（3-m）²+（-m²+4m-3）²=（m-3）²[（m-1）²+1]，
∵点Q的横坐标比点P的横坐标大1，
∴Q（4-m，-m²+6m-5），
∵A（-1，0）．
∴AQ²=（4-m+1）²+（-m²+6m-5）²=（m-5）²[（m-1）²+1]
∵PC=$\frac{5}{9}$AQ，
∴81PC²=25AQ²，
∴81（m-3）²[（m-1）²+1]=25（m-5）²[（m-1）²+1]，
∵0＜m＜1，
∴[（m-1）²+1]≠0，
∴81（m-3）²=25（m-5）²，
∴9（m-3）=±5（m-5），
∴m=$\frac{1}{2}$或m=$\frac{26}{7}$（舍），
∴P（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$），Q（$\frac{7}{2}$，-$\frac{9}{4}$），
∵C（0，3），
∴直线CQ的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+3，
∵P（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$），
∴D（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{4}$），
∴PD=$\frac{7}{4}$+$\frac{3}{4}$=$\frac{5}{2}$，
∴S_△PCQ=S_△PCD+S_△PQD=$\frac{1}{2}$PD×x_P+$\frac{1}{2}$PD×（x_Q-x_P）=$\frac{1}{2}$PD×x_Q=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×$\frac{7}{2}$=$\frac{35}{8}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，平行线的性质和判定，解本题的关键是判断出PC∥OB，难点是设出点P的坐标，是一道比较好的中考常考题．