Question

5．△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC或其延长线于点M．
（1）如图①，当∠A=40°，求∠NMB的大小；
（2）如图②，当∠A=70°，求∠NMB的大小；
（3）写出你由①②发现的规律，并利用图③证明．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B，求出∠MNB=90°，根据三角形内角和定理得出∠NMB=90°-∠B即可．
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B，求出∠MNB=90°，根据三角形内角和定理得出∠NMB=90°-∠B即可．
（3）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B，求出∠MNB=90°，根据三角形内角和定理得出∠NMB=90°-∠B即可．

解答 解：（1）∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=70°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴∠MNB=90°，
∴∠NMB=90°-∠B=20°．

（2）∵AB=AC，∠A=70°，
∴∠B=∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=55°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴∠MNB=90°，
∴∠NMB=90°-∠B=35°．

（3）∠NMB=$\frac{1}{2}$∠A，
理由是：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴∠MNB=90°，
∴∠NMB=90°-∠B=90°-（90°-$\frac{1}{2}$∠A）=$\frac{1}{2}$∠A．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力，求解过程类似．