Question

12．在平面直角坐标系中，已知直线y₁=$-\frac{2}{3}$x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B，直线y₂=kx+b（k≠0）与x轴交于点C（1，0），且与线段AB相交于点P，并把△ABO分成两部分．
（1）求△ABO的面积；
（2）若△ABO被直线CP分成的两部分面积相等，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以求得点A、点B的坐标，从而可以求得△ABO的面积；
（2）根据第（1）问的答案和题目中的额信息可以求得点P的坐标．

解答 解：（1）∵y₁=$-\frac{2}{3}$x+2，
∴当x=0时，y₁=2；当y₁=0时，x=3；
∴点A（3，0），点B（0，2），
即OA=3，OB=2，
∴${S}_{△OAB}=\frac{OA•OB}{2}=\frac{3×2}{2}=3$，
即△ABO的面积是3；
（2）∵点A（3，0），点C（1，0），
∴AC=3-1=2，
设点P的坐标为（a，b），
∵△ABO被直线CP分成的两部分面积相等，△ABO的面积是3，
∴$\frac{AC•b}{2}=\frac{3}{2}$，得b=$\frac{3}{2}$，
将y₁=$\frac{3}{2}$代入y₁=$-\frac{2}{3}$x+2，得x=$\frac{3}{4}$，
即点P的坐标为（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查两直线相交与平行问题，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．