Question

19．已知关于x的方程x²-（2k-3）x+k²+1=0有两个不相等的实数根x₁、x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）若x₁、x₂满足|x₁|+|x₂|=2|x₁x₂|-3，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程有两个不相等的实数根可得△=[-（2k-3）]²-4（k²+1）=4k²-12k+9-4k²-4=-12k+5＞0，求出k的取值范围；
（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到-2k+3=2k²+2-3，结合k的取值范围解方程即可．

解答 解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△=[-（2k-3）]²-4（k²+1）=4k²-12k+9-4k²-4=-12k+5＞0，
解得：k＜$\frac{5}{12}$；

（2）∵k＜$\frac{5}{12}$，
∴x₁+x₂=2k-3＜0，
又∵x₁•x₂=k²+1＞0，
∴x₁＜0，x₂＜0，
∴|x₁|+|x₂|=-x₁-x₂=-（x₁+x₂）=-2k+3，
∵|x₁|+|x₂|=2|x₁x₂|-3，
∴-2k+3=2k²+2-3，即k²+k-2=0，
∴k₁=1，k₂=-2，
又∵k＜$\frac{5}{12}$，
∴k=-2．

点评 此题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0根的判别式和根与系数的关系的应用，（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根；（4）x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$；（5）x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．