Question

12．在湖边高出水面50m的山顶A处看见一艘飞艇停留在湖面上空某处，观察到飞艇底部标志P处的仰角为45°，又观其在湖中之像的俯角为60°，则飞艇底部P距离湖面的高度为（参考等式：$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$）（　　）

• A． 25$\sqrt{3}$+75
• B． 50$\sqrt{3}$+50
• C． 75$\sqrt{3}$+75
• D． 50$\sqrt{3}$+100

Answer 1

分析 设AE=x，则PE=AE=x，根据山顶A处高出水面50m，得出OE=50，OP′=x+50，根据∠P′AE=60°，得出P′E=$\sqrt{3}$x，从而列出方程，求出x的值即可．

解答 解：设AE=xm，在Rt△AEP中∠PAE=45°，则∠P=45°，
∴PE=AE=x，
∵山顶A处高出水面50m，
∴OE=50m，
∴OP′=OP=PE+OE=x+50，
∵∠P′AE=60°，
∴P′E=tan60°•AE=$\sqrt{3}$x，
∴OP′=P′E-OE=$\sqrt{3}$x-50，
∴x+50=$\sqrt{3}$x-50，
解得：x=50（$\sqrt{3}$+1）（m），
∴PO=PE+OE=50（$\sqrt{3}$+1+50=50$\sqrt{3}$+100（m），
即飞艇离开湖面的高度是（50$\sqrt{3}$+100）m．
故选D．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．