Question

17．如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过y轴上一点C，与x轴分别相交于A、B两点，连接BP并延长分别交⊙P、y轴于点D、E，连接DC并延长交x轴于点F．若点F的坐标为（-1，0），点D的坐标为（1，6）．
（1）求证：CD=CF；
（2）判断⊙P与y轴的位置关系，并说明理由；
（3）求直线BD的解析式．

Answer 1

分析 （1）证△COF≌△CHD可得CD=CF；
（2）连接PC，先由CD=CF、PD=PB知PC∥BF，结合BF⊥y轴知PC⊥y轴，即可得出结论；
（3）连接AD，证BD=BF可得AD=OH=6、OA=DH=1，设BD=x，由BD²=AB²+AD²得x=10，从而知B（9，0），待定系数法求解可得．

解答 解：（1）如图，作DH⊥OE于点H，

∴∠DHC=∠FOC=90°，∠DCH=∠FCO，
∵D（1，6）、F（-1，0），
∴DH=OF=1，
在△COF和△CHD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠COF=∠CHD}\\{∠OCF=∠HCD}\\{OF=HD}\end{array}\right.$，
∴△COF≌△CHD（AAS），
∴CD=CF；

（2）连接PC，
∵CD=CF、PD=PB，
∴PC为△BDF的中位线，
∴PC∥BF，
∵BF⊥y轴，
∴PC⊥y轴，
又PC为⊙P的半径，
∴⊙P与y轴相切；

（3）如图，连接AD，
由（2）知BF=2PC，
∵BD=2PC，
∴BD=BF，
∵BD是⊙P的直径，
∴∠DAB=90°，
∴AD=OH=6，OA=DH=1，
设BD=x，
则AB=x-2，
由BD²=AB²+AD²得x²=（x-2）²+6²，
解得：x=10，
∴OB=OA+AB=1+8=9，即B（9，0），
设直线BD的解析式为y=kx+b，
把B（9，0）、D（1，6）代入得$\left\{\begin{array}{l}{9k+b=0}\\{k+b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{27}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{27}{4}$．

点评 本题考查了圆的综合题．此题难度不大，其中涉及到了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质以及切线的判定与性质．解题时，注意数形结合数学思想的应用．