Question

11．△ABC中，BC=18，AC=12，AB=9，点D，E分别是直线AB，AC上的两个点，AE=4．若由A，D，E构成的三角形与△ABC相似，则DB的长为6或$\frac{11}{3}$或12或$\frac{43}{3}$．

Answer 1

分析 由A，D，E构成的三角形与△ABC相似，根据相似三角形的对应边成比例，分四种情况讨论，即可求得DB的长．

解答 解：∵由A，D，E构成的三角形与△ABC相似，
分四种情况：
①当△ADE∽△ABC时，如图1所示
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$=$\frac{4}{12}$=$\frac{1}{3}$，
∴AD=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{1}{3}$×9=3，
则BD=AB-AD=6；
②△ADE∽△ACB时，如图2所示：
$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
∴AD=$\frac{AE•AC}{AB}$=$\frac{4×12}{9}$=$\frac{16}{3}$，
∴BD=AB-AD=9-$\frac{16}{3}$=$\frac{11}{3}$；
③△ADE∽△ABC时，如图3所示：
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$=$\frac{4}{12}$=$\frac{1}{3}$，
∴AD=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{1}{3}$×9=3，
则BD=AB+AD=12；
④△ADE∽△ACB时，如图4所示：
$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
∴AD=$\frac{AE•AC}{AB}$=$\frac{4×12}{9}$=$\frac{16}{3}$，
∴BD=AB+AD=9+$\frac{16}{3}$=$\frac{43}{3}$；
综上所述：DB的长为：6或$\frac{11}{3}$或12或$\frac{43}{3}$；
故答案为：6或$\frac{11}{3}$或12或$\frac{43}{3}$．

点评 此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．