Question

1．（1）如图1，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线、切点为C，直线PO与⊙O相交于点A、B，求∠P与∠A的数量关系；
（2）在（1）的条件下，若∠A=30°，则PB与⊙O的半径有什么关系？
（3）若AB是圆的任意一条直径，C为⊙O上任意一点，连接CA，∠A可能等于45°吗？若∠A=45°，则过点C的切线与AB有怎样的位置关系？
（4）在（3）条件下，若∠A＞45°，则过点C的切线与直线AB的交点P的位置将在哪里？

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图（1），根据切线的性质得∠OCP=90°，则∠P+∠POC=90°，由于∠A=∠OCA，则∠POC=∠A+∠OCA=2∠A，所以∠P+2∠A=90°；
（2）由（1）得，当∠A=30°时，∠P=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系得PO=2OC，则PB=OB，即PB与⊙O的半径相等；
（3）如图（2），点C为半圆AB的中点，PC为⊙O的切线，连结OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，再利用CA弧=CB弧可得∠A=∠B=45°，则根据等腰三角形的性质得OC⊥AB，然后根据切线的性质得OC⊥PC，
于是可判断PC∥AB，所以当∠A=45°，过点C的切线与AB平行；
（4）当∠A＞45°，判断弧AC＜弧BC，则过点C的切线与直线AB的交点P在BA的延长线上．

解答 解：（1）连结OC，如图（1），
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP=90°，
∴∠P+∠POC=90°，
∵OC=OA，
∴∠A=∠OCA，
∴∠POC=∠A+∠OCA=2∠A，
∴∠P+2∠A=90°，
即∠P=90°-2∠A；
（2）当∠A=30°时，∠P=90°-2×30°=30°，
∴PO=2OC，
即PB+OB=2OB，
∴PB=OB，
即PB与⊙O的半径相等；
（3）∠A有可能等于45°，如图（2），点C为半圆AB的中点，PC为⊙O的切线，连结OC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
而CA弧=CB弧，
∴∠A=∠B=45°，
∴OC⊥AB，
而PC为切线，
∴OC⊥PC，
∴PC∥AB，
∴当∠A=45°，过点C的切线与AB平行；
（4）如图（3），当∠A＞45°，而∠ACB=90°，所以∠CAB＞∠B，弧AC＜弧BC，则过点C的切线与直线AB的交点P在BA的延长线上．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了圆周角定理和等腰三角形的判定．