Question

8．已知：如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=DC，AC、BD是对角线，E是AB延长线上一点，且∠BCE=∠ACD，联结CE．
（1）求证：四边形DBEC是平行四边形；
（2）求证：AC²=AD•AE．

Answer 1

分析 （1）由等腰梯形的性质得出∠ADC=∠BCD，由SAS证明△ADC≌△BCD，得出∠ACD=∠BDC，由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BCE=∠CBD，证出BD∥CE，即可得出结论；
（2）证出CE=AC，证明△EAC∽△EBC，得出对应边成比例$\frac{CE}{BC}=\frac{AE}{AC}$，即可得出结论．

解答 证明：（1）∵梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=DC，
∴∠ADC=∠BCD，
在△ADC和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}&{\;}\\{∠ADC=∠BCD}&{\;}\\{CD=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BCD（SAS），
∴∠ACD=∠BDC，
∵BC=DC，
∴∠CBD=∠BDC，
∴∠CBD=∠ACD，
∵∠BCE=∠ACD，
∴∠BCE=∠CBD，
∴BD∥CE，
又∵DC∥AB，
∴四边形DBEC是平行四边形；
（2）由（1）得：四边形DBEC是平行四边形，
∴∠E=∠BDC，
∵DC∥AB，
∴∠BAC=∠ACD，
∵∠BCE=∠ACD，
∴∠BAC=∠BCE=∠E，
∴CE=AC，
又∵∠B=∠B，
∴△EAC∽△EBC，
∴$\frac{CE}{BC}=\frac{AE}{AC}$，
即$\frac{AC}{AD}=\frac{AE}{AC}$，
∴AC²=AD•AE．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题（2）的关键．